AcWing 215. 破译密码

2021-11-25 20:33:25 阅读：238 来源： 互联网

标签：prime 215 const int LL long 破译 mu AcWing

思路：gcd(a,b)=k<=>gcd(a/k,b/k)=1，令x=a/k,y=b/k，则问题变为问x<=a/d,y<=b/d有多少(x,y)满足gcd(x,y)=1。

这个问题可以用容斥原理求解，令全集为所有(x,y),性质为p[i]|gcd(x,y),p[i]为质数，那么答案就是所有p[i]|gcd(x,y)的并集的补集，显然全集为x*y，计算补集时 $\left | \bigcap _{a_i<a_{i+1}}^{|a|=k}S_{a_{i}} \right |$ 就是满足 $\left ( \prod _{a_{i}<a_{i+1}}^{|a|=k}a_{i} \right )|gcd(x,y)$ 的（x,y)个数，容易发现这一项在最终的式子中的系数就是 $\mu\left ( \prod _{a_{i}<a_{i+1}}^{|a|=k}a_{i} \right )$

而满足k|gcd(x,y)的(x,y)数量为(x/k)*(y/k)个。

于是通过预处理莫比乌斯函数前缀和以及进行数论分块，可以算出答案

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#include<unordered_map>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> PII;
//#define int LL
#define inf 0x3f3f3f3f
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define IOS ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0)
#pragma warning(disable :4996)
const double eps = 1e-8;
const LL mod = 1000000009;
const LL MOD = 998244353;
const int maxn = 50010;

LL N, A, B, D;
LL v[maxn], prime[maxn], mu[maxn];

LL mus(LL n)//初始化
{
    mu[0] = 0, mu[1] = 1;
    memset(v, 0, sizeof(v));
    int m = 0;
    for (LL i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (!v[i])
        {
            v[i] = i;
            prime[++m] = i;//素数
            mu[i] = -1;
        }
        for (LL j = 1; j <= m; j++)
        {
            if (prime[j] > v[i] || prime[j] > n / i)
                break;
            v[prime[j] * i] = prime[j];
            if (i % prime[j] == 0)
                mu[i * prime[j]] = 0;
            else
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)//改为记录前缀和
        mu[i] += mu[i - 1];

    return m;
}

void solve()
{
    LL ans = 0;
    LL X = A / D, Y = B / D;
    LL K = min(X, Y);
    for (LL l = 1, r; l <= K; l = r + 1)
    {
        r = min(X / (X / l), Y / (Y / l));
        ans += (mu[r] - mu[l - 1]) * (X / r) * (Y / r);
    }
    printf("%lld\n", ans);
}

int main()
{
    scanf("%lld", &N);
    mus(50001);
    while (N--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld", &A, &B, &D);
        solve();
    }

    return 0;
}

标签：prime,215,const,int,LL,long,破译,mu,AcWing
来源： https://blog.csdn.net/Lznw_/article/details/121545934

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。

ICode9

AcWing 215. 破译密码