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p5 Error的来源

从上节课测试集数据来看，Average\ ErrorAverage Error 随着模型复杂增加呈指数上升趋势。更复杂的模型并不能给测试集带来更好的效果，而这些 ErrorError 的主要有两个来源，分别是 biasbias 和 variancevariance 。

然而 biasbias 和 variancevariance 是什么？可以查看 机器学习中的Bias(偏差)，Error(误差)，和Variance(方差)有什么区别和联系？

估测

假设真实的模型为 \hat ff^ ， 如果我们知道 \hat ff^ 模型，那是最好不过了，但是 \hat ff^ 只有 Niamtic 公司才知道。

所以我们只能通过收集 Pokemon精灵 的数据，然后通过 step1~step3 训练得到我们的理想模型 f^*f∗，f*f∗ 其实是 \hat ff^ 的一个预估。

这个过程就像打靶，\hat ff^ 就是我们的靶心，f^*f∗ 就是我们投掷的结果。如上图所示，\hat ff^ 与 f^*f∗ 之间蓝色部分的差距就是偏差和方差导致的。

估测变量x的偏差和方差

我们先理解一下偏差和方差是怎样计算的呢？ 偏差(Bias)和方差(Variance)——机器学习中的模型选择

评估x的偏差

• 假设 xx 的平均值是 \muμ，方差为 \sigma^2σ2

评估平均值要怎么做呢？

• 首先拿到 NN 个样本点：{x^1,x2,···,x^N}{x1,x2,⋅⋅⋅,xN}
• 计算平均值 mm, 得到 m=\frac{1}{N}\sum_n x^n \neq \mum=N1∑nxn=μ

但是如果计算很多组的 mm ，然后求 mm 的期望：

E[m]=E[\frac{1}{N}\sum x^{n]=\frac{1}{N}\sum_nE[x}n]=\muE[m]=E[N1∑xn]=N1n∑E[xn]=μ

这个估计呢是无偏估计（unbiased）。

然后 mm 分布对于 \muμ 的离散程度（方差）：

Var[m]=\frac{\sigma^2}{N}Var[m]=Nσ2

这个取决于 NN，下图看出 NN 越小越离散：

估测变量x的方差

如何估算方差呢？

为什么会有很多的模型?

讨论系列02中的案例：这里假设是在平行宇宙中，抓了不同的神奇宝贝

用同一个model，在不同的训练集中找到的 f^∗f∗ 就是不一样的

这就像在靶心上射击，进行了很多组（一组多次）。现在需要知道它的散布是怎样的，将100个宇宙中的model画出来

不同的数据集之前什么都有可能发生—||

考虑不同模型的方差

一次模型的方差就比较小的，也就是是比较集中，离散程度较小。而5次模型的方差就比较大，同理散布比较广，离散程度较大。

所以用比较简单的模型，方差是比较小的（就像射击的时候每次的时候，每次射击的设置都集中在一个比较小的区域内）。如果用了复杂的模型，方差就很大，散布比较开。

这也是因为简单的模型受到不同训练集的影响是比较小的。

考虑不同模型的偏差

这里没办法知道真正的 \hat{f}f^，所以假设图中的那条黑色曲线为真正的 \hat{f}f^

结果可视化，一次平均的 \bar{f}fˉ 没有5次的好，虽然5次的整体结果离散程度很高。

一次模型的偏差比较大，而复杂的5次模型，偏差就比较小。

直观的解释：简单的模型函数集的space比较小，所以可能space里面就没有包含靶心，肯定射不中。而复杂的模型函数集的space比较大，可能就包含的靶心，只是没有办法找到确切的靶心在哪，但足够多的，就可能得到真正的 f¯f¯。

偏差v.s.方差

将系列02中的误差拆分为偏差和方差。简单模型（左边）是偏差比较大造成的误差，这种情况叫做欠拟合，而复杂模型（右边）是方差过大造成的误差，这种情况叫做过拟合。

怎么判断？

分析

如果模型没有很好的训练训练集，就是偏差过大，也就是欠拟合 如果模型很好的训练训练集，即再训练集上得到很小的错误，但在测试集上得到大的错误，这意味着模型可能是方差比较大，就是过拟合。 对于欠拟合和过拟合，是用不同的方式来处理的

偏差大-欠拟合

此时应该重新设计模型。因为之前的函数集里面可能根本没有包含f^*f∗。可以：

将更多的函数加进去，比如考虑高度重量，或者HP值等等。 或者考虑更多次幂、更复杂的模型。 如果此时强行再收集更多的data去训练，这是没有什么帮助的，因为设计的函数集本身就不好，再找更多的训练集也不会更好。

方差大-过拟合

简单粗暴的方法：更多的数据

但是很多时候不一定能做到收集更多的data。可以针对对问题的理解对数据集做调整。比如识别手写数字的时候，偏转角度的数据集不够，那就将正常的数据集左转15度，右转15度，类似这样的处理。

模型选择

现在在偏差和方差之间就需要一个权衡 想选择的模型，可以平衡偏差和方差产生的错误，使得总错误最小 但是下面这件事最好不要做：

用训练集训练不同的模型，然后在测试集上比较错误，模型3的错误比较小，就认为模型3好。但实际上这只是你手上的测试集，真正完整的测试集并没有。比如在已有的测试集上错误是0.5，但有条件收集到更多的测试集后通常得到的错误都是大于0.5的。

交叉验证

图中public的测试集是已有的，private是没有的，不知道的。交叉验证 就是将训练集再分为两部分，一部分作为训练集，一部分作为验证集。用训练集训练模型，然后再验证集上比较，确实出最好的模型之后（比如模型3），再用全部的训练集训练模型3，然后再用public的测试集进行测试，此时一般得到的错误都是大一些的。不过此时会比较想再回去调一下参数，调整模型，让在public的测试集上更好，但不太推荐这样。（心里难受啊，大学数模的时候就回去调，来回痛苦折腾）

上述方法可能会担心将训练集拆分的时候分的效果比较差怎么办，可以用下面的方法。

N-折交叉验证

将训练集分成N份，比如分成3份。

比如在三份中训练结果Average错误是模型1最好，再用全部训练集训练模型1。

p6 什么是梯度下降法？

在第二篇文章中有介绍到梯度下降法的做法，传送门：机器学习入门系列02，Regression 回归：案例研究

Review: 梯度下降法

在回归问题的第三步中，需要解决下面的最优化问题：

\theta^∗= \underset{ \theta }{\operatorname{arg\ min}} L(\theta) \tag1θ∗=θarg minL(θ)(1)

• LL :lossfunction（损失函数）
• \thetaθ :parameters（参数）

这里的parameters是复数，即 \thetaθ 指代一堆参数，比如上篇说到的 ww 和 bb 。

我们要找一组参数 \thetaθ ，让损失函数越小越好，这个问题可以用梯度下降法解决：

假设 \thetaθ 有里面有两个参数 \theta_1, \theta_2θ1,θ2 随机选取初始值

\theta^0 = \begin{bmatrix} \theta_1^0 \ \theta_2^0 \end{bmatrix} \tag2θ0=θ10θ20

这里可能某个平台不支持矩阵输入，看下图就好。

然后分别计算初始点处，两个参数对 LL 的偏微分，然后 \theta^0θ0 减掉 \etaη 乘上偏微分的值，得到一组新的参数。同理反复进行这样的计算。黄色部分为简洁的写法，\triangledown L(\theta)▽L(θ) 即为梯度。

\etaη 叫做Learning rates（学习速率）

上图举例将梯度下降法的计算过程进行可视化。

Tip1：调整学习速率

小心翼翼地调整学习率

举例：

上图左边黑色为损失函数的曲线，假设从左边最高点开始，如果学习率调整的刚刚好，比如红色的线，就能顺利找到最低点。如果学习率调整的太小，比如蓝色的线，就会走的太慢，虽然这种情况给足够多的时间也可以找到最低点，实际情况可能会等不及出结果。如果 学习率调整的有点大，比如绿色的线，就会在上面震荡，走不下去，永远无法到达最低点。还有可能非常大，比如黄色的线，直接就飞出去了，更新参数的时候只会发现损失函数越更新越大。

虽然这样的可视化可以很直观观察，但可视化也只是能在参数是一维或者二维的时候进行，更高维的情况已经无法可视化了。

解决方法就是上图右边的方案，将参数改变对损失函数的影响进行可视化。比如学习率太小（蓝色的线），损失函数下降的非常慢；学习率太大（绿色的线），损失函数下降很快，但马上就卡住不下降了；学习率特别大（黄色的线），损失函数就飞出去了；红色的就是差不多刚好，可以得到一个好的结果。

自适应学习率

举一个简单的思想：随着次数的增加，通过一些因子来减少学习率

• 通常刚开始，初始点会距离最低点比较远，所以使用大一点的学习率
• update好几次参数之后呢，比较靠近最低点了，此时减少学习率
• 比如 \eta^t =\frac{\eta^t}{\sqrt{t+1}}ηt=t+1ηt，tt 是次数。随着次数的增加，\eta^tηt 减小

学习率不能是一个值通用所有特征，不同的参数需要不同的学习率

Adagrad 算法

Adagrad 是什么？

每个参数的学习率都把它除上之前微分的均方根。解释：

普通的梯度下降为：

w^{t+1} \leftarrow w^t -η^tgt \tag3wt+1←wt−ηtgt(3)\eta^t =\frac{\eta^t}{\sqrt{t+1}} \tag4ηt=t+1ηt(4)

• ww 是一个参数

Adagrad 可以做的更好：

w^{t+1} \leftarrow w^t -\frac{η^t}{\sigmat}g^t \tag5wt+1←wt−σtηtgt(5)g^t =\frac{\partial L(\theta^t)}{\partial w} \tag6gt=∂w∂L(θt)(6)

• \sigma^tσt :之前参数的所有微分的均方根，对于每个参数都是不一样的。

Adagrad举例

下图是一个参数的更新过程

将 Adagrad 的式子进行化简：

Adagrad 存在的矛盾？

在 Adagrad 中，当梯度越大的时候，步伐应该越大，但下面分母又导致当梯度越大的时候，步伐会越小。

下图是一个直观的解释：

下面给一个正式的解释：

比如初始点在 x_0x0，最低点为 −\frac{b}{2a}−2ab，最佳的步伐就是 x0x0 到最低点之间的距离 \left | x_0+\frac{b}{2a} \right |∣∣∣x0+2ab∣∣∣，也可以写成 \left | \frac{2ax_0+b}{2a} \right |∣∣∣2a2ax0+b∣∣∣。而刚好 |2ax_0+b|∣2ax0+b∣ 就是方程绝对值在 x_0x0 这一点的微分。

这样可以认为如果算出来的微分越大，则距离最低点越远。而且最好的步伐和微分的大小成正比。所以如果踏出去的步伐和微分成正比，它可能是比较好的。

结论1-1：梯度越大，就跟最低点的距离越远。

这个结论在多个参数的时候就不一定成立了。

多参数下结论不一定成立

对比不同的参数

上图左边是两个参数的损失函数，颜色代表损失函数的值。如果只考虑参数 w_1w1，就像图中蓝色的线，得到右边上图结果；如果只考虑参数 w_2w2，就像图中绿色的线，得到右边下图的结果。确实对于 aa 和 bb，结论1-1是成立的，同理 cc 和 bb 也成立。但是如果对比aa 和 cc，就不成立了，cc 比 aa 大，但 cc 距离最低点是比较近的。

所以结论1-1是在没有考虑跨参数对比的情况下，才能成立的。所以还不完善。

之前说到的最佳距离 \left | \frac{2ax_0+b}{2a} \right |∣∣∣2a2ax0+b∣∣∣，还有个分母 2a2a 。对function进行二次微分刚好可以得到：

\frac{\partial ^2y}{\partial x^2} = 2a \tag7∂x2∂2y=2a(7)

所以最好的步伐应该是：

\frac{一次微分}{二次微分}二次微分一次微分

即不止和一次微分成正比，还和二次微分成反比。最好的step应该考虑到二次微分：

Adagrad 进一步的解释

再回到之前的 Adagrad

对于 \sqrt{\sum_{i=0}^t(gi)^2}∑i=0t(gi)2 就是希望再尽可能不增加过多运算的情况下模拟二次微分。（如果计算二次微分，在实际情况中可能会增加很多的时间消耗）

Tip2：随机梯度下降法

之前的梯度下降：

L=\sum_n(\hat y^n-(b+\sum w_ix_iⁿ⁾⁾2 \tag8L=n∑(y^{n−(b+∑wixin))2(8)\theta}i =\theta^{i-1}- \eta\triangledown L(\theta^{i-1}) \tag9θi=θi−1−η▽L(θi−1)(9)

而随机梯度下降法更快：

损失函数不需要处理训练集所有的数据，选取一个例子 x^nxn

L=(\hat y^n-(b+\sum w_ix_iⁿ⁾⁾2 \tag{10}L=(y^{n−(b+∑wixin))2(10)\theta}i =\theta^{i-1}- \eta\triangledown L^n(\theta{i-1}) \tag{11}θi=θi−1−η▽Ln(θi−1)(11)

此时不需要像之前那样对所有的数据进行处理，只需要计算某一个例子的损失函数Ln，就可以赶紧update 梯度。

对比：

常规梯度下降法走一步要处理到所有二十个例子，但随机算法此时已经走了二十步（每处理一个例子就更新）

Tip3：特征缩放

比如有个函数：

y=b+w_1x_1+w_2x_2 \tag{12}y=b+w1x1+w2x2(12)

两个输入的分布的范围很不一样，建议把他们的范围缩放，使得不同输入的范围是一样的。

为什么要这样做？

上图左边是 x_1x1 的scale比 x_2x2 要小很多，所以当 w_1w1 和 w_2w2 做同样的变化时，w_1w1 对 yy 的变化影响是比较小的，x_2x2 对 yy 的变化影响是比较大的。

坐标系中是两个参数的error surface（现在考虑左边蓝色），因为 w_1w1 对 yy 的变化影响比较小，所以 w_1w1 对损失函数的影响比较小，w_1w1 对损失函数有比较小的微分，所以 w_1w1 方向上是比较平滑的。同理 x_2x2 对 yy 的影响比较大，所以 x_2x2 对损失函数的影响比较大，所以在 x_2x2 方向有比较尖的峡谷。

上图右边是两个参数scaling比较接近，右边的绿色图就比较接近圆形。

对于左边的情况，上面讲过这种狭长的情形不过不用Adagrad的话是比较难处理的，两个方向上需要不同的学习率，同一组学习率会搞不定它。而右边情形更新参数就会变得比较容易。左边的梯度下降并不是向着最低点方向走的，而是顺着等高线切线法线方向走的。但绿色就可以向着圆心（最低点）走，这样做参数更新也是比较有效率。

怎么做缩放？

方法非常多，这里举例一种常见的做法：

上图每一列都是一个例子，里面都有一组特征。

对每一个维度 ii（绿色框）都计算平均数，记做 m_imi；还要计算标准差，记做 \sigma _iσi。

然后用第 rr 个例子中的第 ii 个输入，减掉平均数 m_imi，然后除以标准差 \sigma _iσi，得到的结果是所有的维数都是 00，所有的方差都是 11

梯度下降的理论基础

问题

当用梯度下降解决问题：

\theta^∗= \underset{ \theta }{\operatorname{arg\ min}} L(\theta) \tag1θ∗=θarg minL(θ)(1)

每次更新参数 \thetaθ，都得到一个新的 \thetaθ，它都使得损失函数更小。即：

L(\theta^0) >L(\theta^1)>L(\theta2)>···\tag{13}L(θ0)>L(θ1)>L(θ2)>⋅⋅⋅(13)

上述结论正确吗？

结论是不正确的。。。

数学理论

比如在 \theta^0θ0 处，可以在一个小范围的圆圈内找到损失函数细小的 \theta^1θ1，不断的这样去寻找。

接下来就是如果在小圆圈内快速的找到最小值？

泰勒展开式

先介绍一下泰勒展开式

定义

若 h(x)h(x) 在 x=x_0x=x0 点的某个领域内有无限阶导数（即无限可微分，infinitely differentiable），那么在此领域内有：

\begin{aligned} h(x) &= \sum_{k=0}^{\infty }\frac{h^{k(x_0)}{k!}(x-x_0)}k \ & =h(x_0)+{h}’(x_0)(x−x_0)+\frac{h’’(x_0)}{2!}(x−x_0)^2+⋯ \tag{14} \end{aligned}h(x)=k=0∑∞k!hk(x0)(x−x0)k=h(x0)+h′(x0)(x−x0)+2!h′′(x0)(x−x0)2+⋯(14)

当 xx 很接近 x_0x0 时，有 h(x)≈h(x_0)+{h}’(x_0)(x−x_0)h(x)≈h(x0)+h′(x0)(x−x0) 式14 就是函数 h(x)h(x) 在 x=x_0x=x0 点附近关于 xx 的幂函数展开式，也叫泰勒展开式。

举例：

图中3条蓝色线是把前3项作图，橙色线是 sin(x)sin(x)。

多变量泰勒展开式

下面是两个变量的泰勒展开式

利用泰勒展开式简化

回到之前如何快速在圆圈内找到最小值。基于泰勒展开式，在 (a,b)(a,b) 点的红色圆圈范围内，可以将损失函数用泰勒展开式进行简化：

将问题进而简化为下图：

不考虑s的话，可以看出剩下的部分就是两个向量(\triangle \theta_1,\triangle \theta_2)(△θ1,△θ2) 和 (u,v)(u,v) 的内积，那怎样让它最小，就是和向量 (u,v)(u,v) 方向相反的向量

然后将u和v带入。

L(\theta)\approx s+u(\theta_1 - a)+v(\theta_2 - b) \tag{14}L(θ)≈s+u(θ1−a)+v(θ2−b)(14)

发现最后的式子就是梯度下降的式子。但这里用这种方法找到这个式子有个前提，泰勒展开式给的损失函数的估算值是要足够精确的，而这需要红色的圈圈足够小（也就是学习率足够小）来保证。所以理论上每次更新参数都想要损失函数减小的话，即保证式1-2 成立的话，就需要学习率足够足够小才可以。

所以实际中，当更新参数的时候，如果学习率没有设好，是有可能式1-2是不成立的，所以导致做梯度下降的时候，损失函数没有越来越小。

式1-2只考虑了泰勒展开式的一次项，如果考虑到二次项（比如牛顿法），在实际中不是特别好，会涉及到二次微分等，多很多的运算，性价比不好。

梯度下降的限制

容易陷入局部极值 还有可能卡在不是极值，但微分值是0的地方 还有可能实际中只是当微分值小于某一个数值就停下来了，但这里只是比较平缓，并不是极值点

p7 Gradient Descent (Demo by AOE)

• 利用帝国时代的方式模拟梯度下降；

• 在地图上大多数位置我们是未知的，只有我们单位走过的地方是可知；

• 地图上的海拔可以看作损失函数loss function，我们的目的就是寻找海拔的最低点的值；

• 随机初始一个位置，朝向较低的方向移动，周而复始，直到local minimal(在不开天眼的情况下，你始终不会知晓所在位置是否为global minimal)。

部极值 还有可能卡在不是极值，但微分值是0的地方 还有可能实际中只是当微分值小于某一个数值就停下来了，但这里只是比较平缓，并不是极值点

p7 Gradient Descent (Demo by AOE)

• 利用帝国时代的方式模拟梯度下降；

• 在地图上大多数位置我们是未知的，只有我们单位走过的地方是可知；

• 地图上的海拔可以看作损失函数loss function，我们的目的就是寻找海拔的最低点的值；

• 随机初始一个位置，朝向较低的方向移动，周而复始，直到local minimal(在不开天眼的情况下，你始终不会知晓所在位置是否为global minimal)。

标签：函数,方差,梯度,模型,p5,参数,Error,theta,来源
来源： https://blog.csdn.net/qq_42255693/article/details/121432619

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