文章目录
前言
最近发现一些有趣的事，这些事都是围绕着“点”发生的，一个个看似不起眼的“点”却有着非常大的影响力。这些点分为三类：连续点、间断点、可导点。下面将对其分别展开介绍。
一、邻域
邻域定义为：
设
δ
>
0
\delta>0
δ>0，实数集
U
δ
(
x
0
)
=
{
x
∣
∣
x
−
x
0
∣
<
δ
}
U_\delta(x_0) = \{x\mid | x-x_0|<\delta \}
Uδ(x0)={x∣∣x−x0∣<δ} 称为
x
0
x_0
x0 的
δ
\delta
δ 邻域，如果不必说及邻域半径
δ
\delta
δ 的大小，则简记为
U
(
x
0
)
U(x_0)
U(x0)，称为
x
0
x_0
x0 的某邻域。
这里出现了第一个重要的“点”，即
x
0
x_0
x0。
x
0
x_0
x0 的邻域可通俗理解为由如下两部分构成的点集：
- 到 x 0 x_0 x0 的距离 小于 δ \delta δ 的点的集合
- x 0 x_0 x0 自身
去心邻域定义为：
U
˚
δ
(
x
0
)
=
{
x
∣
0
<
∣
x
−
x
0
∣
<
δ
}
\mathring{U}_\delta(x_0) = \{x\mid 0<| x-x_0|<\delta \}
U˚δ(x0)={x∣0<∣x−x0∣<δ} 称为
x
0
x_0
x0 的 去心
δ
\delta
δ 邻域。
x
0
x_0
x0 的去心邻域可通俗理解为由一部分构成的点集：
- 到 x 0 x_0 x0 的距离 小于 δ \delta δ 且 不等于0 的点的集合
从去心邻域和邻域的定义可以看出，去心邻域的“去心”指的就是去掉了 x 0 x_0 x0 自身 这个点。
二、极限
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处的极限定义为：
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
\lim\limits_{x \to x_0}f(x)
x→x0limf(x) 存在，记为
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
A
\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = A
x→x0limf(x)=A，可解释为：对任意给定的
ϵ
\epsilon
ϵ，存在
δ
\delta
δ，当
0
<
∣
x
−
x
0
∣
<
δ
0<|x-x_0|<\delta
0<∣x−x0∣<δ 时，就有
∣
f
(
x
)
−
A
∣
<
ϵ
|f(x)-A|<\epsilon
∣f(x)−A∣<ϵ. 这里需要注意的是
x
→
x
0
x \to x_0
x→x0 等价于
x
x
x 趋于
x
0
x_0
x0 但 取不到
x
0
x_0
x0 点，这也就是
∣
x
−
x
0
∣
>
0
|x-x_0| > 0
∣x−x0∣>0 而不是
∣
x
−
x
0
∣
⩾
0
|x-x_0| \geqslant 0
∣x−x0∣⩾0 的原因。
三、连续点
函数在一点处 连续 定义为：
设
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 的某邻域
U
(
x
0
)
U(x_0)
U(x0) 有定义，且
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)
x→x0limf(x)=f(x0)则称
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 处连续。
函数在一点处 左连续 定义为：
设
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 的左侧某邻域
x
0
−
δ
<
x
⩽
x
0
x_0-\delta<x\leqslant x_0
x0−δ<x⩽x0 有定义，且
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
\lim_{x \to x_0^-} f(x)=f(x_0)
x→x0−limf(x)=f(x0)则称
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 处左连续。
函数在一点处 右连续 定义为：
设
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 的右侧某邻域
x
0
⩽
x
<
x
0
+
δ
x_0\leqslant x<x_0+\delta
x0⩽x<x0+δ 有定义，且
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
\lim_{x \to x_0^+} f(x)=f(x_0)
x→x0+limf(x)=f(x0)则称
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 处右连续。
连续研究的是函数中的 点 一种性质。如上对三种连续的定义可以看出三种连续的特点为：
- 连续：
1). x 0 x_0 x0 点必须 有定义
2). x 0 x_0 x0 点 左附近 的点 必须 有定义
3). x 0 x_0 x0 点 右附近 的点 必须 有定义 - 左连续：
1). x 0 x_0 x0 点必须 有定义
2). x 0 x_0 x0 点 左附近 的点 必须 有定义 - 右连续：
1). x 0 x_0 x0 点必须 有定义
2). x 0 x_0 x0 点 右附近 的点 必须 有定义
基于这三种连续情况的定义，对于定义在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上的函数 f ( x ) f(x) f(x) 来说是只能研究 ( a , b ) (a,b) (a,b) 内部点的连续性的，因为 x = a x=a x=a 与 x = b x=b x=b 两点处 f ( x ) f(x) f(x) 没有定义，而点有定义是连续的前提。对于定义在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的函数 f ( x ) f(x) f(x) 来说可以研究 ( a , b ) (a,b) (a,b) 内部点的连续性，也可以研究 x = a x=a x=a 点的右连续性和 x = b x=b x=b 点的左连续性，对于 x = a x=a x=a 点其 自身 和其 右附近的点 有定义，对于 x = b x=b x=b 点其 自身 和其 左附近的点 有定义。
四、间断点
第一类间断点的判定标准为：
- f ( x ) f(x) f(x) 在 x = x 0 x=x_0 x=x0的某 去心邻域 内有 定义
- lim x → x 0 − f ( x ) \lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) x→x0−limf(x) 、 lim x → x 0 + f ( x ) \lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) x→x0+limf(x) 都存在
第二类间断点的判定标准为：
- f ( x ) f(x) f(x) 在 x = x 0 x=x_0 x=x0的某 去心邻域 内有 定义
- lim x → x 0 − f ( x ) \lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) x→x0−limf(x) 、 lim x → x 0 + f ( x ) \lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) x→x0+limf(x) 至少有一个不存在
间断研究的是某点 x 0 x_0 x0 附近点集 的一种状态，从两类间断点的判定标准就可以看出，判断是否间断的必要条件是 f ( x ) f(x) f(x) 在 x = x 0 x=x_0 x=x0的某 去心邻域 内有 定义 即 x = x 0 x=x_0 x=x0 左附近 ， x = x 0 x=x_0 x=x0 右附近 的点 两者都 有定义。对于定义在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 或者是定义在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 的函数 f ( x ) f(x) f(x) 来说，只能研究 ( a , b ) (a,b) (a,b) 内部点 的间断性，而对于 x = a {x=a} x=a 点 只满足 右附近的点有定义，所以 x = a {x=a} x=a 点没有间断性，对于 x = b {x=b} x=b 点 只满足 左附近的点有定义，所以 x = b {x=b} x=b 点也没有间断性。
五、可导点
可导的定义为：
设
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 的某 邻域
U
(
x
0
)
U(x_0)
U(x0) 内有定义，并设
x
0
+
Δ
x
∈
U
(
x
0
)
x_0+\Delta x \in U(x_0)
x0+Δx∈U(x0). 如果
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
0
+
Δ
x
)
−
f
(
x
0
)
Δ
x
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)存在，则称
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 处可导。
在定义式中，若记
x
=
x
0
+
Δ
x
x=x_0+\Delta x
x=x0+Δx，则该式可改写为：
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
=
f
′
(
x
0
)
\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)
x→x0limx−x0f(x)−f(x0)=f′(x0)
左导数的定义为：
设
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 的左侧某 邻域
x
0
−
δ
<
x
⩽
x
0
x_0-\delta<x\leqslant x_0
x0−δ<x⩽x0 有定义. 如果
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
\lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
x→x0−limx−x0f(x)−f(x0)存在，则称
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 处左导数存在。
右导数的定义为：
设
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 的右侧某 邻域
x
0
⩽
x
<
x
0
+
δ
x_0 \leqslant x < x_0+\delta
x0⩽x<x0+δ 有定义. 如果
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
x→x0+limx−x0f(x)−f(x0)存在，则称
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 处右导数存在。
可导研究的是函数中 点 的一种性质，类比 点 的连续性，点的可导性的特点如下：
- 可导
1). x 0 x_0 x0 点必须 有定义
2). x 0 x_0 x0 点 左附近 的点 必须 有定义
3). x 0 x_0 x0 点 右附近 的点 必须 有定义 - 左可导：
1). x 0 x_0 x0 点必须 有定义
2). x 0 x_0 x0 点 左附近 的点 必须 有定义 - 右可导：
1). x 0 x_0 x0 点必须 有定义
2). x 0 x_0 x0 点 右附近 的点 必须 有定义
基于这三种可导情况的定义，对于定义在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上的函数 f ( x ) f(x) f(x) 来说是只能研究 ( a , b ) (a,b) (a,b) 内部点的可导性的，因为 x = a x=a x=a 与 x = b x=b x=b 两点处 f ( x ) f(x) f(x) 没有定义，而点有定义是可导的前提。对于定义在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的函数 f ( x ) f(x) f(x) 来说可以研究 ( a , b ) (a,b) (a,b) 内部点的可导性，也可以研究 x = a x=a x=a 点的右可导性和 x = b x=b x=b 点的左可导性，对于 x = a x=a x=a 点其 自身 和其 右附近的点 有定义，对于 x = b x=b x=b 点其 自身 和其 左附近的点 有定义。
经典例题
设有命题
1). 若
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处可导，则
∣
f
(
x
)
∣
|f(x)|
∣f(x)∣ 在
x
0
x_0
x0 处可导
2). 若
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处连续，且
∣
f
(
x
)
∣
|f(x)|
∣f(x)∣ 在
x
0
x_0
x0 处可导，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处可导。
3). 若
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处的左、右导数都存在，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处连续。
4). 若
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处导函数的极限
lim
x
→
x
0
f
′
(
x
)
\lim\limits_{x \to x_0}f'(x)
x→x0limf′(x) 存在，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处连续。
上述命题中正确的个数为 ( 2 ) 个。
解析：
1). 错误。反证法：设
f
(
x
)
=
x
−
x
0
f(x)=x-x_0
f(x)=x−x0，易得
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处可导，而
∣
f
(
x
)
∣
=
∣
x
−
x
0
∣
|f(x)|=|x-x_0|
∣f(x)∣=∣x−x0∣ 在
x
0
x_0
x0 处不可导。
2). 正确。
① 若
f
(
x
0
)
>
0
f(x_0)>0
f(x0)>0，则在
x
0
x_0
x0 某邻域内，
∣
f
(
x
)
∣
=
f
(
x
)
|f(x)|=f(x)
∣f(x)∣=f(x)，从而
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处可导。
② 若
f
(
x
0
)
<
0
f(x_0)<0
f(x0)<0，则在
x
0
x_0
x0 某邻域内，
∣
f
(
x
)
∣
=
−
f
(
x
)
|f(x)|=-f(x)
∣f(x)∣=−f(x)，从而
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处可导。
③ 若
f
(
x
0
)
=
0
f(x_0)=0
f(x0)=0，则
lim
x
→
x
0
∣
f
(
x
)
∣
x
−
x
0
\lim\limits_{x \to x_0}{|f(x)| \over x-x_0}
x→x0limx−x0∣f(x)∣ 存在，而
lim
x
→
x
0
+
∣
f
(
x
)
∣
x
−
x
0
⩾
0
\lim\limits_{x \to x_0^+}{|f(x)| \over x-x_0} \geqslant 0
x→x0+limx−x0∣f(x)∣⩾0，
lim
x
→
x
0
−
∣
f
(
x
)
∣
x
−
x
0
⩽
0
\lim\limits_{x \to x_0^-}{|f(x)| \over x-x_0} \leqslant 0
x→x0−limx−x0∣f(x)∣⩽0，可得
lim
x
→
x
0
∣
f
(
x
)
∣
x
−
x
0
=
0
\lim\limits_{x \to x_0}{|f(x)| \over x-x_0}=0
x→x0limx−x0∣f(x)∣=0，因此
lim
x
→
x
0
∣
∣
f
(
x
)
∣
x
−
x
0
∣
=
lim
x
→
x
0
∣
f
(
x
)
x
−
x
0
∣
=
0
\lim\limits_{x \to x_0}|{|f(x)| \over x-x_0}|=\lim\limits_{x \to x_0}|{f(x) \over x-x_0}|=0
x→x0lim∣x−x0∣f(x)∣∣=x→x0lim∣x−x0f(x)∣=0，故
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
x
−
x
0
=
0
\lim\limits_{x \to x_0}{f(x) \over x-x_0}=0
x→x0limx−x0f(x)=0，
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处可导。（注：
lim
x
→
x
0
∣
f
(
x
)
∣
=
0
\lim\limits_{x \to x_0} |f(x)| = 0
x→x0lim∣f(x)∣=0 是
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
0
\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0
x→x0limf(x)=0 充分必要条件证明见附1）
3). 正确。由于
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处的左导数存在，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处左连续，即
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=f(x_0)
x→x0−limf(x)=f(x0)，由于
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处的右导数存在，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处右连续，即
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)=f(x_0)
x→x0+limf(x)=f(x0)，从而
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
=
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)=f(x_0)
x→x0−limf(x)=x→x0+limf(x)=f(x0)，因此
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处连续。
4). 错误。
lim
x
→
x
0
f
′
(
x
)
\lim\limits_{x \to x_0}f'(x)
x→x0limf′(x) 研究的是
x
x
x 趋于
x
0
x_0
x0 但不等于
x
0
x_0
x0 的
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x)的极限值，与
x
0
x_0
x0点自身无关，而
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处的连续性，与
x
0
x_0
x0点自身相关。反证法：
f
(
x
)
=
{
x
2
x =
/
0
1
x = 0
f(x) = \begin{cases} x^2 &\text{x {=}\llap{/\,} 0} \\ 1 &\text{x = 0 } \end{cases}
f(x)={x21x =/ 0x = 0 ，
f
′
(
x
)
=
2
x
f'(x)=2x
f′(x)=2x，
lim
x
→
0
f
′
(
x
)
\lim\limits_{x \to 0}f'(x)
x→0limf′(x) 存在，但
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在 0 处不连续。
总结
连续、可导研究的是点的一种性质，因此当研究某点 x 0 x_0 x0 左右连续性或者某点 x 0 x_0 x0 左右可导性时需要在这点 x 0 x_0 x0 处有定义。极限和间断研究的是趋向于某点 x 0 x_0 x0 的一种态势，是一种趋向性，与某点 x 0 x_0 x0 附近的点的状况有关而与这个点 x 0 x_0 x0 自身没有关系。
附录
附1
lim
x
→
x
0
∣
f
(
x
)
∣
=
0
\lim\limits_{x \to x_0} |f(x)| = 0
x→x0lim∣f(x)∣=0 是
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
0
\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0
x→x0limf(x)=0 充分必要条件的证明：
①
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
0
\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0
x→x0limf(x)=0 成立可解释为：对任意给定的
ϵ
\epsilon
ϵ，存在
δ
\delta
δ，当
0
<
∣
x
−
x
0
∣
<
δ
0<|x-x_0|<\delta
0<∣x−x0∣<δ 时，就有
∣
f
(
x
)
−
0
∣
<
ϵ
|f(x)-0|<\epsilon
∣f(x)−0∣<ϵ.
②
lim
x
→
x
0
∣
f
(
x
)
∣
=
0
\lim\limits_{x \to x_0} |f(x)| = 0
x→x0lim∣f(x)∣=0 成立可解释为：对任意给定的
ϵ
\epsilon
ϵ，存在
δ
\delta
δ，当
0
<
∣
x
−
x
0
∣
<
δ
0<|x-x_0|<\delta
0<∣x−x0∣<δ 时，就有
∣
∣
f
(
x
)
∣
−
∣
0
∣
∣
<
ϵ
||f(x)|-|0||<\epsilon
∣∣f(x)∣−∣0∣∣<ϵ.
可以看出
∣
f
(
x
)
−
0
∣
<
ϵ
|f(x)-0|<\epsilon
∣f(x)−0∣<ϵ 与
∣
∣
f
(
x
)
∣
−
∣
0
∣
∣
<
ϵ
||f(x)|-|0||<\epsilon
∣∣f(x)∣−∣0∣∣<ϵ 是等价的，因此
lim
x
→
x
0
∣
f
(
x
)
∣
=
0
\lim\limits_{x \to x_0} |f(x)| = 0
x→x0lim∣f(x)∣=0 是
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
0
\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0
x→x0limf(x)=0 充分必要条件。
附2
对命题：若
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处的左、右导数都存在，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处连续的一种误解进行解释。
误解：
f
(
x
)
=
{
x
+
1
x
⩾
0
x
−
1
x
<
0
f(x) = \begin{cases} x+1 &\text{} x \geqslant 0\\ x-1 &\text{} x < 0 \end{cases}
f(x)={x+1x−1x⩾0x<0 在
x
=
0
x=0
x=0 处的左导数为
f
(
0
−
)
=
1
f(0_-) = 1
f(0−)=1，在
x
=
0
x=0
x=0 处的右导数为
f
(
0
+
)
=
1
f(0_+) = 1
f(0+)=1，而
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
0
x=0
x=0 处不连续。
解释：
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
0
x=0
x=0 处只存在右导数，不存在左导数。因为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
0
x=0
x=0 有左导数的前提是 当
x
<
0
x<0
x<0 时，
f
(
x
)
=
x
−
1
f(x)=x-1
f(x)=x−1 在
x
=
0
x=0
x=0 处及其
x
=
0
x=0
x=0 的左附近有定义，而
x
<
0
x<0
x<0 时，
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
0
x=0
x=0 处并没有定义，因此
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
0
x=0
x=0 处不存在左导数。
标签：定义,limits,lim,邻域,那些,连续,x0 来源： https://blog.csdn.net/u013563715/article/details/121112354
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。