标签：limits 树状 lowbit sum 二维 初学 cases
二维树状数组可以高效解决二维动态矩形计数问题。
我先带你回顾一下一维树状数组是怎样的：
设 \(\{d^{(n)}\}\) 为
\[\begin{cases}d_1=n\\ d_i=d_{i-1}-lowbit(d_{i-1}) & i>1 \\ d_i>0 & i\in\mathbb{N}^+\end{cases} \]设 \(\{f^{(n)}\}\) 为
\[\begin{cases}f_1=n\\ f_i=f_{i-1}+lowbit(f_{i-1}) & i>1 \\ f_i\leqslant V & i\in\mathbb{N}^+\end{cases} \]其中 \(V\) 为下标的最大值。
则前缀和为
\[\sum\limits^n_{i=1}a_i=\sum\limits_{j\in d^{(n)}}c_j \]而改变了 \(a_n\) 后，\(\forall x\in f^{(n)}\)，\(c_x\) 都要改变。
让我们升一维，二维：
由于本蒟蒻不会做 3D 演示图片，2D 凑合看吧 qwq。
当查询
\[\sum\limits_{i=1}^7\sum\limits_{j=1}^7a_{i,j} \]时，会用到这些 \(c\)（相同颜色为其管辖范围，感谢四色定理）：
即
\[\sum\limits^n_{i=1}\sum\limits^m_{j=1}a_{i,j}=\sum\limits_{x\in d^{(n)}}\sum\limits_{y\in d^{(m)}}c_{x,y} \]而改变了 \(a_{n,m}\) 后，\(\forall x\in f^{(n)},y\in f^{(m)}\)，\(c_{x,y}\) 都要改变。
单点修改和矩形（二维前缀的容斥）查询单次均为 \(O(\log(nm))\)。
标签：limits,树状,lowbit,sum,二维,初学,cases 来源： https://www.cnblogs.com/zhangshaojia/p/15536069.html
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