标签：return lcs str2 str1 学习 range 动态 规划 dp
动态规划
动态规划问题简称为DP问题（dynamic problem）
- 规模是否可缩小
- 用函数思想构造一个状态表达式（黑盒思路）
- 构造状态转移
- 优化（memorization/tabulation）
e.g. Longest Common Subsequence(LCS)
- 规模是否可缩小
- 用函数思想构造一个状态表达式（黑盒思路）
- lcs(str1, str2, m, n)
- 构造状态转移
- 1+lcs(m-1, n-1)
- max(lcs(m-1, n), lcs(m, n-1))
- 优化（memorization/tabulation）
- overlapping
1 递归树 Recursive Tree
def lcs(str1, str2, m, n):
if m == 0 or n == 0:
return 0
if str1[m-1] == str2[n-1]:
case1 = 1 + lcs(str1, str2, m-1, n-1)
return case1
else:
case2 = max(lcs(str1, str2, m-1, n), lcs(str1, str2, m, n-1))
return case2
In:
str1 = 'abcdef'
str2 = 'afbce'
m = len(str1)
n = len(str2)
res = lcs(str1, str2, m, n)
print(res)
Out:
4
存在overlapping的问题
2 memoization
改进（自上而下）：
def lcs(str1, str2, m, n):
#m, n 规模的问题对应的矩阵坐标为m-1, n-1
if m == 0 or n == 0:
dp[m][n] = 0
return 0
if dp[m][n] != -1:
return dp[m][n]
if str1[m-1] == str2[n-1]:
case1 = 1 + lcs(str1, str2, m-1, n-1)
dp[m][n] = case1
return case1
else:
case2 = max(lcs(str1, str2, m-1, n), lcs(str1, str2, m, n-1))
dp[m][n] = case2
return case2
In:
str1 = 'bd'
str2 = 'abcd'
m = len(str1)
n = len(str2)
dp = [[-1] * (n+1) for _ in range(m+1)]
res = lcs(str1, str2, m, n)
print(res)
print(dp)
Out:
2
[[-1, 0, -1, 0, -1], [-1, -1, 1, 1, -1], [-1, -1, -1, -1, 2]]
3 tabulation
改进（自下而上）：
def lcs(str1, str2, m, n):
dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
for i in range(1, m+1):
for j in range(1, n+1):
left = dp[i][j-1]
up = dp[i-1][j]
left_up = dp[i-1][j-1]
if str1[i-1] == str2[j-1]:
dp[i][j] = left_up + 1
else:
dp[i][j] = max(left, up)
#print(dp)
return dp[m][n]
4 空间优化
4.1 只用两行矩阵
def lcs(str1, str2, m, n):
dp = [[0] * (n+1) for _ in range(2)]
#这里发生了变化，只需要两行来推断下面的表格
for i in range(1, m+1):
for j in range(1, n+1):
#代码中的dp[0]代表前一行
#代码中的dp[1]代表当前行
left = dp[1][j-1]
up = dp[0][j]
left_up = dp[0][j-1]
if str1[i-1] == str2[j-1]:
dp[1][j] = left_up + 1
else:
dp[1][j] = max(left, up)
#处理完一行，把当前行的值覆盖前一行
for k in range(1, n+1):
dp[0][k] = dp[1][k]
#print(dp)
return dp[m][n]
5 小结
| tabulation | memoization | |
|---|---|---|
| 状态转移 | 不好想 | 利用递归的思想容易想 |
| 代码 | 需要考虑矩阵的位置关系， 不好写 | 容易编写 |
| 速度 | 直接通过访问前一个状态的结果计算下一个状态 速度快 | 多层递归，由于递归的层数在系统中是有限制的，所以有时候会慢，甚至达到限制 |
| 表内数据 | 每一个元素都要填充数据 | 只有需要的位置才会被填充上数据 |
下一个状态
速度快 | 多层递归，由于递归的层数在系统中是有限制的，所以有时候会慢，甚至达到限制 |
| 表内数据 | 每一个元素都要填充数据 | 只有需要的位置才会被填充上数据 |
标签：return,lcs,str2,str1,学习,range,动态,规划,dp 来源： https://blog.csdn.net/weixin_42764266/article/details/121153410
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