标签：frac 函数 int alpha quad 伽马 pi Gamma

定义

伽马函数是阶乘函数在实数与复数上的扩展。对于实数部份为正的复数 z\(（Re(z) > 0）\)，伽玛函数定义为:

\[\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-t} t^{z-1} \mathrm{~d} t . \quad(x>0) \]

在Rez>0处收敛。

性质

(1)递推公式\(\quad\Gamma(z+1)=z \Gamma(z)\)

(2)\(\quad\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)

(3)欧拉反射公式\(\quad\Gamma(z) \Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin \pi z}\quad\)

(0<Re(z)<1)。
由此可知\(z=\frac 1 2\)时，\(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)

利用伽马函数计算积分

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin ^{2 \alpha-1} x \cos ^{2 \beta-1} x d x=\frac{\Gamma(\alpha) F(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)} \]

\[\int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} d x=\frac{\Gamma(p) \cdot \Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} \]

标签：frac,函数,int,alpha,quad,伽马,pi,Gamma
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