标签：rt lzy int tr bi cost Insertion Optimal CF1601C

Optimal Insertion

题解

怎么一群人都可以在考场上切这道题呀

首先，我们观察到一个性质，我们最终得到的序列 c c c中，来自 b b b的元素的顺序一定是升序的，即权值不递减。
显然，对于 b i > b j b_{i}>b_{j} bi​>bj​， b i b_{i} bi​的最优决策点一定不会在 b j b_{j} bj​的左边，该性质在我们下面的转移过程中可以见得。
我们考虑加入 b i b_{i} bi​时，将 b i b_{i} bi​插入在 a j a_{j} aj​后面时会贡献的逆序对数 c o s t j = ∑ k = 1 j [ a k > b i ] + ∑ k = j + 1 n [ a k < b i ] cost_{j}=\sum_{k=1}^{j}[a_{k}>b_{i}]+\sum_{k=j+1}^{n}[a_{k}<b_{i}] costj​=∑k=1j​[ak​>bi​]+∑k=j+1n​[ak​<bi​]。
显然，我们在 b i b_{i} bi​变大的过程中， ∑ k = j + 1 n [ a k < b i ] \sum_{k=j+1}^{n}[a_{k}<b_{i}] ∑k=j+1n​[ak​<bi​]会不断变大， ∑ k = 1 j [ a k > b i ] \sum_{k=1}^{j}[a_k>b_i] ∑k=1j​[ak​>bi​]会不断变小。
而由于 c o s t j − 1 cost_{j-1} costj−1​肯定包含 c o s t j cost_{j} costj​的 ∑ k = j + 1 n [ a k < b i ] \sum_{k=j+1}^{n}[a_k<b_i] ∑k=j+1n​[ak​<bi​]，所以 c o s t j − 1 cost_{j-1} costj−1​的 ∑ k = j + 1 n [ a k < b i ] \sum_{k=j+1}^{n}[a_k<b_i] ∑k=j+1n​[ak​<bi​]部分增加速度肯定快于 c o s t j cost_{j} costj​。
同理， c o s t j − 1 cost_{j-1} costj−1​的 ∑ k = 1 j [ a k > b i ] \sum_{k=1}^{j}[a_k>b_i] ∑k=1j​[ak​>bi​]部分的减小速度也一定慢于 c o s t j cost_{j} costj​。
故 c o s t j cost_{j} costj​的增长速度是慢于 c o s t j − 1 cost_{j-1} costj−1​，所以我们的最优决策点是不断右移的。
很显然，我们可以用双指针加线段树维护我们的 c o s t cost cost值的变化，对于每个 b i b_{i} bi​都加上最小的 c o s t cost cost即可。
时间复杂度 O ( n log ⁡   n ) O\left(n\log\,n\right) O(nlogn)。
注意维护原来 a a a序列的逆序对数。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1000005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;       
const int INF=0x3f3f3f3f;       
const int mo=998244353;
const int inv2=499122177;
const int jzm=2333;
const int zero=10000;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-5;
typedef pair<LL,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1LL)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1LL;}return t;}
int n,m,b[MAXN],T,tr[MAXN<<2],lzy[MAXN<<2],sum[MAXN];pii a[MAXN];LL ans;
void build(int rt,int l,int r){
	lzy[rt]=tr[rt]=0;if(l==r)return ;int mid=l+r>>1;
	build(lson,l,mid);build(rson,mid+1,r);
	tr[rt]=min(tr[lson],tr[rson]);
}
void pushdown(int rt){
	if(!lzy[rt])return ;
	tr[lson]+=lzy[rt];lzy[lson]+=lzy[rt];
	tr[rson]+=lzy[rt];lzy[rson]+=lzy[rt];
	lzy[rt]=0;
}
void modify(int rt,int l,int r,int al,int ar,int aw){
	if(l>r||l>ar||r<al||al>ar)return ;
	if(al<=l&&r<=ar){tr[rt]+=aw;lzy[rt]+=aw;return ;}
	int mid=l+r>>1;pushdown(rt);
	if(al<=mid)modify(lson,l,mid,al,ar,aw);
	if(ar>mid)modify(rson,mid+1,r,al,ar,aw);
	tr[rt]=min(tr[lson],tr[rson]);
}
void insert(int pos){while(pos)sum[pos]++,pos-=lowbit(pos);}
int query(int pos){int res=0;while(pos<=n)res+=sum[pos],pos+=lowbit(pos);return res;}
signed main(){
	read(T);
	while(T--){
		read(n);read(m);ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i].fir),a[i].sec=i;
		for(int i=1;i<=m;i++)read(b[i]);
		sort(a+1,a+n+1);sort(b+1,b+m+1);build(1,0,n);
		for(int i=1;i<=n;i++)modify(1,0,n,i,n,1);
		for(int i=1,j=1,k=1;i<=m;i++){
			for(;a[k].fir<=b[i]&&k<=n;k++)modify(1,0,n,a[k].sec,n,-1);
			for(;a[j].fir<b[i]&&j<=n;j++)modify(1,0,n,0,a[j].sec-1,1);
			ans+=1ll*tr[1];
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=0;
		for(int i=1,j=1;i<=n;i++){
			while(a[j].fir<a[i].fir)insert(a[j].sec),j++;
			ans+=1ll*query(a[i].sec);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

谢谢！！！

标签：rt,lzy,int,tr,bi,cost,Insertion,Optimal,CF1601C
来源： https://blog.csdn.net/Tan_tan_tann/article/details/120956598

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。