Stochastic Expansion Method主要分为：多项式混沌展开和随机配点法，该方法实质上是对随机变量构建一个代理模型，只不过该代理模型也具有随机性，不确定性分析直接在该代理模型上开展。
1. 多项式混沌展开方法概述
Polynomial Chaos Expansions， PCE方法以Ploynomial chaos多项式混沌理论为基础，该理论成立的前提为：如果任一随机变量的概率密度函数fx(x)平方可积，则该随机变量能够表示成若干相互独立的标准随机变量的函数。
∫R|fx(x)|2dx<∞
随机变量的概率密度函数满足上例不等式，就认为其在（-∞，+∞）区间内是平方可积的，当然也存在在区间[a,b]上平方可积的情况。通常对于我们感兴趣的随机变量，上述平方可积性的基本要求基本都可以满足。
最原始的PCE都是以埃尔米特正交多项式作为基函数，美国布朗大学的XIU等运用包括埃尔米特正交多项式在内的各种不同形式的多项式作为基函数，将PCE方法扩展到了广义PCE方法。
多项式混沌展开方法主要分为两类：（1）非侵入式；（2）侵入式
no-intrusive PCE：在进行不确定分析时，将响应函数视为黑盒子，仅关注输入和输出随机变量之间的函数映射关系，无需涉入函数内部。
intrusive PCE：必须知道输入和输出之间明确的函数表达式，且需要对原函数的形式进行改动和变形。
PCE方法的基本实现主要分为两个步骤：（1）分布将输入随机变量和输出随机变量表示为一组正交多项式基函数的加权线性组合；（2）PCE系数的计算，也就是如何计算得到各正交多项式基函数对应的权值。
第一步较为简单，只需要按照规则选取合适的正交多项式基函数，并进行组合即可。步骤二对于PCE系数的求解是PCE方法需要解决的主要问题和难点所在。
对于非侵入式PCE求解系数的方法主要包含以下两种：
（1）Glerkin投影：利用PCE模型中正交多项式基函数的正交性，将PCE模型依次投影到每项正交多项式上，从而得到各PCE的系数。
（2）随机响应面法（SRSM）：回归方法求解系数，通过在随机空间中抽取一定数量的样本，在样本点上通过线性回归得到PCE系数。
标签：方法,函数,多项式,混沌,正交,随机变量,PCE 来源： https://www.cnblogs.com/mathwang0916/p/15384806.html
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