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自推屈婉玲离散数学24个重要的等值式

2021-10-08 18:57:57  阅读:458  来源: 互联网

标签:24 wedge 屈婉玲 neg 证明 离散数学 vee Leftrightarrow rightarrow


文章目录

0.引言

大家好,我是执念斩长河。一个刚刚专升本成功的普通学渣。最近几周刚开学,学习了离散数学。离散数学前期概念太多,而且我上课前不预习,下课后不复习。导致什么都不会,把自己都整懵掉了。今天下课立马打开书本,开始看起来。自己证明24个重要的等值式
数学符号,全用latex。如果大家latex不会用,可查看此专栏:latex专栏。话不多说,开始自己证明

1.双重否定律

请证明: ¬ ¬ A ⇔ A \neg\neg{A}\Leftrightarrow{A} ¬¬A⇔A

A ¬ A \neg{A} ¬A ¬ ¬ A \neg\neg{A} ¬¬AA
0100
1011

利用真值表,证明完毕

2.等幂律

∨ \vee ∨
∧ \wedge ∧
请证明:
A ∨ A ⇔ A A ∧ A ⇔ A A\vee{A} \Leftrightarrow{A}\\ A\wedge{A}\Leftrightarrow{A} A∨A⇔AA∧A⇔A
记住口诀,下串同一为一,上并同0为0.
这句口诀意思是指, ∨ \vee ∨符号向上,所以像并联一样,左值与右值同0才为0,其余位置写1
∧ \wedge ∧符号向下,所以像串联一样,左值与右值同时为1,才为1.其余位置写成0.

A A ∨ A A\vee{A} A∨AA
000
111
A A ∧ A A\wedge{A} A∧AA
000
111

利用真值表,证明完毕。

3.交换律

请证明
A ∨ B ⇔ B ∨ A A ∧ B ⇔ B ∧ A A\vee{B}\Leftrightarrow{B\vee{A}}\\ A\wedge{B}\Leftrightarrow{B\wedge{A}} A∨B⇔B∨AA∧B⇔B∧A

AB A ∨ B A\vee{B} A∨B B ∨ A B\vee{A} B∨A
0000
0111
1011
1111
AB A ∧ B A\wedge{B} A∧B B ∧ A B\wedge{A} B∧A
0000
0100
1000
1111

利用真值表,证明完毕

4.结合律

请证明:
( A ∨ B ) ∨ C ⇔ A ∨ ( B ∨ C ) ( A ∧ B ) ∧ C ⇔ A ∧ ( B ∧ C ) (A\vee{B})\vee{C}\Leftrightarrow{A\vee({B}\vee{C})}\\ (A\wedge{B})\wedge{C}\Leftrightarrow{A\wedge({B}\wedge{C})} (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)(A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)

ABC A ∨ B A\vee{B} A∨B B ∨ C B\vee{C} B∨C ( A ∨ B ) ∨ C (A\vee{B})\vee{C} (A∨B)∨C A ∨ ( B ∨ C ) A\vee({B}\vee{C}) A∨(B∨C)
0000000
0010111
0101111
0111111
1001011
1011111
1101111
1111111
ABC A ∧ B A\wedge{B} A∧B B ∧ C B\wedge{C} B∧C ( A ∧ B ) ∧ C (A\wedge{B})\wedge{C} (A∧B)∧C A ∧ ( B ∧ C ) A\wedge({B}\wedge{C}) A∧(B∧C)
0000000
0010000
0100000
0110100
1000000
1010000
1101000
1111111

利用真值表,计算完毕

5. 分配律

请证明:
A ∨ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ) A ∧ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C ) A\vee({B\wedge{C}}) \Leftrightarrow{(A\vee{B})\wedge{(A\vee{C})}}\\ A\wedge({B\vee{C}}) \Leftrightarrow{(A\wedge{B})\vee{(A\wedge{C})}}\\ A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)

ABC B ∧ C B\wedge{C} B∧C A ∨ B A\vee{B} A∨B A ∨ C A\vee{C} A∨C A ∨ ( B ∧ C ) A\vee{(B\wedge{C})} A∨(B∧C) ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ) (A\vee{B})\wedge(A\vee{C}) (A∨B)∧(A∨C)
00000000
00100100
01001000
01111111
10001111
10101111
11001111
11111111
ABC B ∨ C B\vee{C} B∨C A ∧ B A\wedge{B} A∧B A ∧ C A\wedge{C} A∧C A ∧ ( B ∨ C ) A\wedge{(B\vee{C})} A∧(B∨C) ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C ) (A\wedge{B})\vee(A\wedge{C}) (A∧B)∨(A∧C)
00000000
00110000
01010000
01110000
10000000
10110111
11011011
11111111

利用真值表,证明完毕。

6.吸收律

请证明:
A ∨ ( A ∧ B ) ⇔ A A ∧ ( A ∨ B ) ⇔ A A\vee{(A\wedge{B})}\Leftrightarrow{A}\\ A\wedge{(A\vee{B})}\Leftrightarrow{A}\\ A∨(A∧B)⇔AA∧(A∨B)⇔A

AB A ∧ B A\wedge{B} A∧B A ∨ ( A ∧ B ) A\vee{(A\wedge{B})} A∨(A∧B)A
00000
01000
10011
11111
AB A ∨ B A\vee{B} A∨B A ∧ ( A ∨ B ) A\wedge{(A\vee{B})} A∧(A∨B)A
00000
01100
10111
11111

由真值表得,证明完毕。

7. 德·摩根律

请证明:
¬ ( A ∨ B ) ⇔ ¬ A ∧ ¬ B ¬ ( A ∧ B ) ⇔ ¬ A ∨ ¬ B \neg{(A\vee{B})}\Leftrightarrow{\neg{A}\wedge{\neg{B}}}\\ \neg{(A\wedge{B})}\Leftrightarrow{\neg{A}\vee{\neg{B}}} ¬(A∨B)⇔¬A∧¬B¬(A∧B)⇔¬A∨¬B

AB ¬ A \neg{A} ¬A ¬ B \neg{B} ¬B A ∨ B A\vee{B} A∨B ¬ ( A ∨ B ) \neg{(A\vee{B})} ¬(A∨B) ¬ A ∧ ¬ B \neg{A}\wedge{\neg{B}} ¬A∧¬B
0011011
0110100
1001100
1100100
AB ¬ A \neg{A} ¬A ¬ B \neg{B} ¬B A ∧ B A\wedge{B} A∧B ¬ ( A ∧ B ) \neg{(A\wedge{B})} ¬(A∧B) ¬ A ∨ ¬ B \neg{A}\vee{\neg{B}} ¬A∨¬B
0011011
0110011
1001011
1100100

根据真值表,证明完毕

8.零律

请证明:
A ∨ 1 ⇔ 1 A ∧ 0 ⇔ 0 A\vee{1}\Leftrightarrow{1}\\ A\wedge{0}\Leftrightarrow{0}\\ A∨1⇔1A∧0⇔0

A1 A ∨ 1 A\vee{1} A∨11
0111
1111
A0 A ∧ 0 A\wedge{0} A∧00
0000
1000

根据真值表,证明完毕

9.同一律

请证明
A ∨ 0 ⇔ A A ∧ 1 ⇔ A A\vee{0}\Leftrightarrow{A}\\ A\wedge{1}\Leftrightarrow{A}\\ A∨0⇔AA∧1⇔A

A0 A ∨ 0 A\vee{0} A∨0A
0000
1011
A1 A ∧ 1 A\wedge{1} A∧1A
0100
1111

10.排中律

请证明:
A ∨ ¬ A ⇔ A A\vee{\neg{A}}\Leftrightarrow{A} A∨¬A⇔A

A ¬ A \neg{A} ¬A A ∨ ¬ A A\vee{\neg{A}} A∨¬A1
0111
1011

证明完毕

11.矛盾律

请证明:
A ∧ ¬ A ⇔ 0 A\wedge{\neg{A}}\Leftrightarrow{0} A∧¬A⇔0

A ¬ A \neg{A} ¬A A ∧ ¬ A A\wedge{\neg{A}} A∧¬A0
0100
1000

证明完毕

12 .蕴含等值式

请证明:
A → B ⇔ ¬ A ∨ B A\rightarrow{B}\Leftrightarrow{\neg{A}\vee{B}} A→B⇔¬A∨B

AB ¬ A \neg{A} ¬A A → B A\rightarrow{B} A→B ¬ A ∨ B \neg{A}\vee{B} ¬A∨B
00111
01111
10000
11011

证明完毕

13.等价等值式

请证明
A ↔ B ⇔ ( A → B ) ∧ ( B → A ) A\leftrightarrow{B}\Leftrightarrow{(A\rightarrow{B})\wedge{(B\rightarrow{A})}} A↔B⇔(A→B)∧(B→A)

AB A ↔ B A\leftrightarrow{B} A↔B A → B A\rightarrow{B} A→B B → A B\rightarrow{A} B→A ( A → B ) ∧ ( B → A ) (A\rightarrow{B})\wedge{(B\rightarrow{A})} (A→B)∧(B→A)
001111
010100
100010
111111

14.假言易位

请证明:
A → B ⇔ ¬ B → ¬ A A\rightarrow{B}\Leftrightarrow{\neg{B}\rightarrow{\neg{A}}} A→B⇔¬B→¬A

AB ¬ A \neg{A} ¬A ¬ B \neg{B} ¬B A → B A\rightarrow{B} A→B ¬ B → ¬ A \neg{B}\rightarrow{\neg{A}} ¬B→¬A
001111
011011
100100
110011

证明完毕

15.等价否定等值式

请证明:
A ↔ B ⇔ ¬ A ↔ ¬ B A\leftrightarrow{B}\Leftrightarrow{\neg{A}\leftrightarrow{\neg{B}}} A↔B⇔¬A↔¬B

AB ¬ A \neg{A} ¬A ¬ B \neg{B} ¬B A ↔ B A\leftrightarrow{B} A↔B ¬ A ↔ ¬ B \neg{A}\leftrightarrow{\neg{B}} ¬A↔¬B
001111
011000
100100
110011

证明完毕

16.归谬论

请证明:
( A → B ) ∧ ( A → ¬ B ) ⇔ ¬ A (A\rightarrow{B})\wedge{(A\rightarrow{\neg{B}})}\Leftrightarrow{\neg{A}} (A→B)∧(A→¬B)⇔¬A

AB ¬ A \neg{A} ¬A ¬ B \neg{B} ¬B A → B A\rightarrow{B} A→B A → ¬ B A\rightarrow{\neg{B}} A→¬B ( A → B ) ∧ ( A → ¬ B ) (A\rightarrow{B})\wedge{(A\rightarrow{\neg{B}})} (A→B)∧(A→¬B) ¬ A \neg{A} ¬A
00111111
01101111
10010100
11001000

证明完毕

标签:24,wedge,屈婉玲,neg,证明,离散数学,vee,Leftrightarrow,rightarrow
来源: https://blog.csdn.net/m0_37149062/article/details/120653856

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