标签:采样 14 方差 信号处理 准确度 点数 精确度 习题 估计量
目录
3. 当A为一个固定常数时,线性估计量的准确度及精确度随采样点数的关系
4. 当A为一个固定常数时,非线性估计量的准确度及精确度随采样点数的关系
5. 当A是一个随机变量,估计量的准确度及精确度随采样点数的关系
题目
对于例3.11的数据模型,考虑估计量 ,其中 是样本均值。假定我们在随机变量的一个现实为 时观测到一个给定的数据集,通过验证
证明当 时, 。因此,对于给定的现实 ,当 时, 。下一步,通过确定 ,求当时 的方差,其中 ;并将它与CRLB进行比较,解释为什么即使 ,也不能无误差的估计 。
解答:
1. 准备知识:估计的准确度及精确度
估计量的均方误差MSE定义为:
MSE度量了估计量偏离真值的平方偏差的统计平均值。显然MSE可以进一步转换为:
其中:
估计的准确度(Accuracy)可以用式中的 表示,反映了估计量期望输出与真实值之间的差距;
估计的精确度(Precision)可以用式中的 表示,反映了估计量数据之间的离散化程度,存在Error Bound,例如CRLB。
具体可以参考:
误差、不确定度、精密度、准确度、偏差、方差?看完这篇就不凌乱了 - 知乎
2. 准备知识:正态分布的高阶矩
已知 ,那么:
具体可以参考:
一般正态分布的k阶(如三阶和四阶)中心矩和原点矩如何算? - 知乎
另外,方差的计算公式:
3. 当A为一个固定常数时,线性估计量的准确度及精确度随采样点数的关系
由于 是一个固定常数 ,估计量:
因此:
此时,对于估计量 存在:
因此,可以得到:
根据统计信号处理基础(3.9),可以得到估计量的CRLB
根据上式,可以确认,当 时, , ,也就是随着采样点数增加,基于平均的估计量方差趋近于0,此时估计量 。
因此,此种场景下,采样点数的增加()都可以有效提高估计量的准确度及精确度。
4. 当A为一个固定常数时,非线性估计量的准确度及精确度随采样点数的关系
由于 是一个固定常数 ,用来估计信号功率的估计量:
由于
因此,利用前文高阶矩的性质,得到:
根据统计信号处理基础(3.17),可以得到 估计量 的CRLB满足:
可以得到:当时, ,
因此,此种场景下,采样点数的增加()都可以有效提高估计量的准确度及精确度。
5. 当 是一个随机变量,估计量的准确度及精确度随采样点数的关系
此时,A是个随机变量, 且 ,用来估计此时信号方差的估计量为:
由于
其中 与 独立,且都属于高斯分布,因此:
因此,我们得到此时:
再次利用正态分布高阶矩的公式,得到:
因此:
根据统计信号处理基础例3.11的结果,可以得到 估计量 的CRLB满足:
可以得到:当时, ,但是
因此,此种场景下,采样点数的增加()可以有效提高估计量的准确度,但始终无法提高估计量的精确度。
其本质原因是每次增加估计数据,都会引入随机变量的方差。
标签:采样,14,方差,信号处理,准确度,点数,精确度,习题,估计量 来源: https://blog.csdn.net/weixin_43270276/article/details/120621589
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