标签：frac 2021.10 04am blacktriangle xy sqrt blacktriangledown 100

10.04AM

A Prime Distance \(\blacktriangle\!\blacktriangledown\)

1. 首先肯定是考虑暴力。
   • 一种是线性筛到 \(r\)，时间复杂度\(O(T*r)\)(预处理可以优化到\(O(r+T*(r-l)\))，但是 \(O(n)\) 的空间还是挂掉。
   • 另一种是试除法。这个的效率是\(O(T*(r-l)*r*\sqrt r)\)，显然还是挂掉。
2. 正解算是两个的结合。
   • 从时间上及题意上看出框架只能用线性筛，但从空间上能看出来必须要优化，我们希望只开 \(O(r-l)\) 的空间，能把范围内的质数都判定出来。
   • 而联想到试除法的优化，每个合数都能肯定有一个质因数小于等于自己开方的值，也肯定小于等于 \(\sqrt r\)，那么只需要预处理出 \(\sqrt r\) 以下的数，乘到 \((l,r)\) 的范围内，判为合数（这个地方可以直接暴力，没必要再找质数····），再 \(O(r-l)\) 扫一次。预处理后时间复杂度为 \(O(\sqrt r+T*(r-l))\)

B

C 和A一模一样

D Widget Factory

E 樱花 \(\blacktriangle\!\blacktriangledown\)

1. 这道题考试想了个灰常错误的算法。
2. 推式子。
   • 首先，从题意入手，
     $ \frac 1 x+\frac 1 y= \frac 1 {n!} \( \)\frac {x+y}{xy}=\frac 1 {n!}\( \)xy-n!(x+y)=0\( \)(n!)^{2-n!*(x+y)+xy=(n!)}2\( \)(n!-x)(n!-y)=(n!)^2\( \)n!-y=\frac {(n!)^2} {n!-x}$
     那必有 \({(n!)^2} \mod {n!-x}=0\)
     那么 \(n!-x\) 是 \({n!}^2\) 的约数，题目求 \((n!)^2\) 的因数和，那便转换成另一道做过的题。

F 方程的解 \(\blacktriangle\!\blacktriangledown\)

1. 转化为n个球放进k个盒子，非空。
2. 再转化为 n-1 个个位置插 k-1 个板子。
3. 组合数 \(\mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\)

\(\cal {Made} \ {by} \ {YuGe}\)

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来源： https://www.cnblogs.com/u2003/p/15366916.html

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