标签：方程 frac 求解 int dx dy 微分方程 partial 方法

当年已经学过了，可是忘光了。从知乎上找到了一个课程，可是和之前老师讲的不一样，在这里说明一下。

求解微分方程，是解一个含有微分的方程。因为含有微分，它和一般的方程可不一样，求解的结果里会具有一个常数\(C\)。若想要去掉这个常数\(C\)，需要附加条件。这个附加条件表现为：

\[y'(x_1)=e_1,\\ y(x_2)=e_2 \]

假若\(x_1=x_2\)，称这个附加条件下的问题为初值问题。反之，则称为条件值问题。一般遇见的都是初值问题。

在微分形式以及它的变种中，初值条件仅仅为:

\[y(x_0)=y_0 \]

要解决初值问题，本质上不需要寻找额外的方法。只要完成了求解，再代入初值即可解决初值问题。当然，或许存在额外的解法。

大抵来说，这个教程的内容是：将微分方程分为几类，在这之后，每一类都有自己的独特解法。

微分方程的分类与计算

1. 标准形式

\[y'=f(x,y) \]

当然，这只是一个范例。如果标准形式也存在着解法，我们就没有必要去讨论不同形式下的解法了。

2. 微分形式

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)}\\ \Rightarrow M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \]

同上标准形式，这只是一个范例。

3. 可分离变量的形式

\[M(x)dx+N(y)dy=0 \]

直接进行积分，即可求解。这是求解最简单的一个形式。

\[\int M(x)dx+\int N(y)dy=\int 0=C \]

当然，它存在着求解初值问题的额外方法：

\[假设初值条件：\\ y'(x_0)=y_0,\\ 那么，可以求解以： \int_{x_0}^xM(x)+\int_{y_0}^yN(y)=0 \]

4. 齐次方程

\[对于y'=f(x,y),有:f(tx,ty)=f(x,y) \]

假设一个齐次方程:

\[\frac{dy}{dx}=f(x,y) \]

由于不是一个可分离变量的方程，显然不能够直接求解。
由于y是x的函数\((y=y(x))\)，显然这个形式可以变化。比如，\(y=x\cdot y(x)\)，不过这样会在符号的使用上引发问题，所以改写为\(y=x\cdot v(x)\)。
为什么要改写？因为是齐次方程，\(f(tx,ty)=f(x,y)\)，如果\(y=x\cdot v(x)\)，那么有:

\[\frac{dy}{dx}=f(x,y)\\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=f(x,xv)=f(1,v)=f(v)\\ 又\because \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx} \Rightarrow v+x\frac{dv}{dx}=f(v), x\frac{dv}{dx}=f(v)-v=g(v), \frac{dv}{dx}=\frac{g(v)}{x} \]

最后会变化为可分离变量的形式。

5. 恰当方程

\[对于M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,有:\exists F(x,y),使得: \begin{cases} \frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=M(x,y)\\ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=N(x,y) \end{cases} \]

\[\therefore M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\Rightarrow dF(x,y)=0 \]

首先，我们有着一个确认恰当方程的方法。如下:

\[\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}= \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} \]

如果符合上式，那么这就是一个恰当方程。

接下来，我们就可以根据下式确定\(F(x,y)\)

\[\begin{cases} \frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=M(x,y)\\ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=N(x,y) \end{cases} \]

确定后，原式可以变化为:

\[dF(x)=0, \int dF(x)=\int 0=0, \therefore F(x)=C(C为任意常数) \]

这样就直接得到了对应的隐式解。从这个隐式解，或许可以得到显式解。

额外的情况，即使原方程不是恰当方程，可以将其变化为恰当方程。具体方式为:

\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \Rightarrow I(x,y)[M(x,y)dx+N(x,y)dy]=0 \]

在一些情况下，我们可以通过一些固定的方式来寻找这个\(I(x,y)\)，如下:

假若有：

\[(\frac{\partial M}{dy}-\frac{\partial N}{dx})=N\cdot g(x) \quad or\quad M\cdot h(y)\\ \]

那么有：

\[I(x,y)=e^{\int g(x)dx \quad or \quad -\int h(y)dy} \]

假若有：

\[\begin{cases} M(x,y)=yf(xy)\\ N(x,y)=xg(xy) \end{cases} \]

那么有：

\[I(x,y)=\frac{1}{xM-yN} \]

6. 线性方程

\[y'+p(x)y=q(x) \]

所有的线性方程，都可以变化为恰当方程，且为：

\[(\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}- \frac{\partial N(x,y)}{\partial x})= N \cdot g(x) \]

7. 伯努利方程

\[y'+p(x)y=q(x)y^n \]

\(令z=y^{1-n}\),即可转化为线性方程。

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来源： https://www.cnblogs.com/aoout/p/15362751.html

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