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CF1574F Occurrences

2021-10-02 09:00:47  阅读:138  来源: 互联网

标签:字符 一个 出度 sqrt Occurrences mathcal 物品 CF1574F


考虑什么样的串是合法的。

直接考虑比较抽象,考虑具象化这个问题。

容易发现一个字符串的限制就相当于如果出现了其中一个字符 \(a_i = c\),那么 \(s\) 中 \(c\) 前 \(i - 1\) 个字符必然要为:\(a_1 \sim a_{i - 1}\),\(c\) 后的 \(n - i\) 个字符必然要为 \(a_{i + 1} \sim a_n\)。

这个限制比较严格,可以放宽为:对于每个在串 \(a\) 中出现过的字符 \(a_i = c\),其前面一个字符必为 \(a_{i - 1}\) 后面一个字符必为 \(a_{i + 1}\)。

此时我们对字符集中的每个字符建点,对于任意的一个串 \(a\) 我们连边 \(\forall i \in [1, n - 1], a_i \to a_{i + 1}\)。

因此 \(s\) 可以看作是在这张图上 不断地 选一个入度为 \(0\) 的点走到一个出度为 \(0\) 的点的过程。

那么显然要分不同的(弱)连通块考虑,容易发现一个(弱联通块)是可选的当且仅当:

  • 所有点的入度和出度均不超过 \(2\)。

  • 不存在环。

因此满足上述两条限制的连通块只能是一条往一个方向的链。

将所有可行的链找出来,问题可以转化为:

有 \(n\) 种物品,每种物品有长度 \(l_i\)(满足 \(\sum l_i = k\)),且每个物品有无限个,每次选择一个物品放在序列末端,问构成长度为 \(m\) 的序列有多少种?

考虑 \(\rm dp\),令 \(f_i\) 为构成长度为 \(i\) 的序列的方案数,朴素转移是 \(\mathcal{O}(nm)\) 的。

注意到本质不同的 \(l_i\) 至多只有 \(\sqrt{k}\) 种,于是可以将这 \(\sqrt{k}\) 种一起转移,复杂度 \(\mathcal{O}(m\sqrt{k})\),已经可以通过本题。

于此同时,我们将本质不同的 \(l\) 看作是一种后有:\(f = f \times l\),因此可以做半在线卷积 / 求逆即可,复杂度 \(\mathcal{O}(n \log ^ 2n) / \mathcal{O}(n \log n)\)。

标签:字符,一个,出度,sqrt,Occurrences,mathcal,物品,CF1574F
来源: https://www.cnblogs.com/Go7338395/p/15361322.html

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