标签：Clustering 肘部 迭代 均值 Andrew 算法 中心点 聚类
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1. K-均值算法
K-均值是最普及的聚类算法，算法接受一个未标记的数据集，然后将数据聚类成不同的组。
K-均值是一个迭代算法，假设想要将数据聚类成n个组，其方法为:
-
首先选择 K K K个随机的点，称为聚类中心（cluster centroids）；
-
对于数据集中的每一个数据，按照距离 K K K个中心点的距离，将其与距离最近的中心点关联起来，与同一个中心点关联的所有点聚成一类。
-
计算每一个组的平均值，将该组所关联的中心点移动到平均值的位置。
重复步骤2、3直至中心点不再变化。
下面是一个聚类示例：
.
用
μ
1
μ^1
μ1,
μ
2
μ^2
μ2,…,
μ
k
μ^k
μk 来表示聚类中心，用
c
(
1
)
c^{(1)}
c(1),
c
(
2
)
c^{(2)}
c(2),…,
c
(
m
)
c^{(m)}
c(m)来存储与第
i
i
i个实例数据最近的聚类中心的索引，K-均值算法的伪代码如下：
Repeat {
for i = 1 to m
c(i) := index (form 1 to K) of cluster centroid closest to x(i)
for k = 1 to K
μk := average (mean) of points assigned to cluster k
}
算法分为两个步骤，第一个for循环是赋值步骤，即：对于每一个样例 i i i，计算其应该属于的类。第二个for循环是聚类中心的移动，即：对于每一个类 K K K，重新计算该类的质心。
K-均值算法也可以很便利地用于将数据分为许多不同组，即使在没有非常明显区分的组群的情况下也可以。下图所示的数据集包含身高和体重两项特征构成的，利用K-均值算法将数据分为三类，用于帮助确定将要生产的T-恤衫的三种尺寸。
2. 优化目标
K-均值最小化问题，是要最小化所有的数据点与其所关联的聚类中心点之间的距离之和，因此
K-均值的代价函数（又称畸变函数 Distortion function）为：
J ( c ( 1 ) , . . . , c ( m ) , μ 1 , . . . , μ K ) = 1 m ∑ i = 1 m ∥ X ( i ) − μ c ( i ) ∥ 2 J(c^{(1)},...,c^{(m)},μ_1,...,μ_K)=\dfrac {1}{m}\sum^{m}_{i=1}\left\| X^{\left( i\right) }-\mu_{c^{(i)}}\right\| ^{2} J(c(1),...,c(m),μ1,...,μK)=m1i=1∑m∥∥∥X(i)−μc(i)∥∥∥2
其中
μ
c
(
i
)
{{\mu }_{{{c}^{(i)}}}}
μc(i)代表与
x
(
i
)
{{x}^{(i)}}
x(i)最近的聚类中心点。
优化目标便是找出使得代价函数最小的
c
(
1
)
c^{(1)}
c(1),
c
(
2
)
c^{(2)}
c(2),…,
c
(
m
)
c^{(m)}
c(m)和
μ
1
μ^1
μ1,
μ
2
μ^2
μ2,…,
μ
k
μ^k
μk：
回顾刚才给出的:
K-均值迭代算法，第一个循环是用于减小
c
(
i
)
c^{(i)}
c(i)引起的代价，而第二个循环则是用于减小
μ
i
{{\mu }_{i}}
μi引起的代价。迭代的过程一定会是每一次迭代都在减小代价函数，不然便是出现了错误。
3. 随机初始化
在运行K-均值算法的之前，首先要随机初始化所有的聚类中心点，具体做法：
-
应该选择 K < m K<m K<m，即聚类中心点的个数要小于所有训练集实例的数量
-
随机选择 K K K个训练实例，然后令 K K K个聚类中心分别与这 K K K个训练实例相等
K-均值的一个问题在于，它有可能会停留在一个局部最小值处，而这取决于初始化的情况。
为了解决这个问题，通常需要多次运行K-均值算法，每一次都重新进行随机初始化，最后再比较多次运行K-均值的结果，选择代价函数最小的结果。这种方法在 K K K较小的时候还是可行的，但是如果 K K K较大，这么做也可能不会有明显地改善。
4. 选择聚类数
没有所谓最好的选择聚类数的方法，通常是需要根据不同的问题，人工进行选择的。选择的时候思考运用K-均值算法聚类的动机是什么，然后选择能最好服务于该目的标聚类数。
当人们在讨论，选择聚类数目的方法时，有一个可能会谈及的方法叫作“肘部法则”。关于“肘部法则”，所需要做的是改变 K K K值，也就是聚类类别数目的总数。用一个聚类来运行K均值聚类方法。这就意味着，所有的数据都会分到一个聚类里，然后计算成本函数或者计算畸变函数 J J J。 K K K代表聚类数字。
可能会得到一条类似于这样的曲线。像一个人的肘部。这就是“肘部法则”所做的，看起来就好像有一个很清楚的肘在那儿。好像人的手臂，如果伸出胳膊，那么这就是肩关节、肘关节、手。这就是“肘部法则”。会发现这种模式，它的畸变值会迅速下降，从1到2，从2到3之后，会在3的时候达到一个肘点。在此之后，畸变值就下降的非常慢，看起来就像使用3个聚类来进行聚类是正确的，这是因为那个点是曲线的肘点，畸变值下降得很快， K = 3 K=3 K=3之后就下降得很慢，那么就选 K = 3 K=3 K=3。当应用“肘部法则”的时候，如果得到了一个像上面这样的图，那么这将是一种用来选择聚类个数的合理方法。
例如，T-恤制造例子中，要将用户按照身材聚类，可以分成3个尺寸: S , M , L S,M,L S,M,L，也可以分成5个尺寸 X S , S , M , L , X L XS,S,M,L,XL XS,S,M,L,XL，这样的选择是建立在回答“聚类后制造的T-恤是否能较好地适合客户”这个问题的基础上作出的。
标签：Clustering,肘部,迭代,均值,Andrew,算法,中心点,聚类 来源： https://blog.csdn.net/weixin_45091300/article/details/120173744
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