标签：DAG 联通 String tt 路径 CF1383C 2n 加边 Transformation
一、题目
二、解法
首先把转图论模型：有 \(20\) 个点，按时间顺序往里面加边，要求 \(\forall i,A_i\) 到 \(B_i\) 有一条时间单调递增的路径，问最小加边数量。这个模型成立的原因是我们按时间顺序操作，如果一个点达到了目标状态就可以把它固定下来。
记 \(G_1\) 为加边之后形成的图，\(G_2\) 为连有向边 \((A_i,B_i)\) 形成的图；记 \(S\) 为 \(G_2\) 最大的 \(\tt DAG\)（\(m=|S|\)），\(e\) 表示最小边数，\(n\) 表示总点数，\(c\) 表示 \(G_2\) 的弱联通图数量。
Lamma：\(e=2n-m-c\)
首先证明可以构造到这个答案，考虑把 \(S\) 中的点按拓扑序重编号为 \(1,2...m\)，那么像这样连边：
除了 \(S\) 中满足 \(i>j\) 的 \(i\) 无法到 \(j\) 以外，其他点对都可以互相到达，但因为 \(S\) 是拓扑图所以并不要求这样的点对有路径。对于这个弱联通块答案是 \(e=m+1-2(n-m-1)=2n-m-1\)，多个弱连通图的答案是 \(e=2n-m-c\)
然后证明它是答案下界，我们考虑 \(G_1\) 的任意一种连边方案，维护一个 \(G_2\) 中的集合 \(T\)，\(T\) 中没有在 \(G_1\) 中自己经过时间递增的路径走回自己的点，考虑增量法加边：
- 如果加入的边 \((u,v)\) 对应 \(G_2\) 中的两个弱联通块，那么合并这两个弱联通块，弱联通块个数减 \(1\)
- 如果加入的边 \((u,v)\) 在同一个弱联通内，最坏情况下会使 \(T\) 中某个点存在时间递增的走回自己的路径，我们可以从 \(T\) 中去掉 \(v\) 来保持原有的性质，此时 \(T\) 的大小至多减 \(1\)
考虑最优连边方案 \(G_1,G_2\) 弱联通块个数相等，所以第一种情况的边恰好有 \(n-c\) 条，根据第二种情况最后 \(T\) 集合的大小来列不等式：\(|T|\geq n-(e-(n-c))\rightarrow e\geq 2n-|T|-c\)，取 \(|T|=m\) 即可证明原结论。
那么现在的问题是求一个最大导出子图使其为 \(\tt DAG\)，每次考虑加入一个点，然后出边不连接到原集合即可，也就是我们按拓扑序来规划每个可能的导出子图，那么使用状压 \(dp\) 可以做到 \(O(2^nn)\)
三、总结
建立图论模型需要积累各种量的意义，本题路径的意义表示一种转化方式。
证明答案下界的思路也很重要，本题用到的方法我称之为势能法，也就是我们找到某个量为势能，对于任意一种决策方案，考虑最坏情况让势能的减少量，根据这个东西来列不等式。
最后反过来思考，为什么本题会有和 \(\tt DAG\) 有关的这种结论？我的想法是首先可以构造出一种 \(2n-1\) 的图使得任意两点之间都有路径，但是因为有些点对之间并不需要有路径所以这种构造不优，那么就可以联想到 \(\tt DAG\) 中的点只需要有拓扑序小到大的路径，那么就可以在 \(\tt DAG\) 上缩减边数。
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int M = 100005;
int read()
{
int x=0,f=1;char c;
while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
return x*f;
}
int T,n,ans,mx,fa[20],out[20],dp[1<<20];
char s[M],t[M];
int find(int x)
{
if(x!=fa[x]) fa[x]=find(fa[x]);
return fa[x];
}
void work()
{
n=read();scanf("%s%s",s,t);ans=mx=0;
for(int i=0;i<20;i++) fa[i]=i,out[i]=0;
for(int i=0;i<(1<<20);i++) dp[i]=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int x=s[i]-'a',y=t[i]-'a';
out[x]|=(1<<y);
fa[find(x)]=find(y);
}
ans=40;dp[0]=1;
for(int i=0;i<20;i++)
if(i==find(i)) ans--;
for(int i=0;i<(1<<20);i++) if(dp[i])
{
mx=max(mx,__builtin_popcount(i));
for(int j=0;j<20;j++)
if(!(i&(1<<j)) && (out[j]&i)==0)
dp[i|(1<<j)]=1;
}
printf("%d\n",ans-mx);
}
signed main()
{
T=read();
while(T--) work();
}
标签：DAG,联通,String,tt,路径,CF1383C,2n,加边,Transformation 来源： https://www.cnblogs.com/C202044zxy/p/15213540.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。