标签：tsp 旅行 结点 kx 解法 数组 集合 动态 dp
解决思路：
假设当前为一个规模为n且开始结点为0号结点的旅行商问题，那么，我们所要解决的问题可以转化为将0与{0，1，2，3…n}的有向（与集合中的顺序不一定一致）序列与0相连的最小值。假设这个最小值为k与0相连的情况下产生的，那么，我们又可以将问题分解为{0，1，2，…k-1，k+1，…n}的最优与k相连解加上k与0相连的距离耗费……综上所述，该问题可以划分成最优子问题的形式，故存在动态规划解法。
基于以上分析思考，我们可以将集合用二进制数来表示，其中每一个二进制位标识一个结点，为1则表示该结点已在集合中，为0则表示该位不在集合中。将0号结点首先内置在每一个集合中。我们构造一个n*(2^(n-1))的矩阵作为dp数组，通过对该数组的填写完成对本问题最优解的寻找。
依据以上的分析，我们可以得到该解法的dp矩阵填写方式如下：
1.当集合中仅有一个元素时，初始化该列的第0行元素为该点到0号节点的距离。其余位置，若无效则填0，若有效则仅可将i号结点与j对应的节点（假定为k）相连，然后将k与0号结点相连。
2.普通位置的结点，遍历j中对应集合含有的元素，假定为kx，若存在kx==i,则证明i已在集合中，该位置无效，填0。若不存在kx==i，则遍历kx，求d=a[i][kx] +dp[k][1<<(kx-1)^j]中的最小值，填到dp数组对应位置。
程序代码：
#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
int **a,**dp, n, m, bestc;
int tsp()
{
int k, t, mind, d, kl, flag;
if(n<=1) return 0;
//当集合中仅有一个元素时，初始化该列的第0行元素为该点到0号节点的距离
for(int j=1, i=1; i<n; i++,j<<=1)
dp[0][j]=a[0][i];
for(int j=1; j<m; j++)
{
for(int i=0; i<n; i++)
{
if(i==0)
{
//已经初始化的位置，无需再次填写
if(dp[i][j]!=0)
{
flag=1;
continue;
}
}
k=0; t=j; mind=0x7f7f7f7f;
//当集合中仅有一个元素时，初始化该列未初始化的位置，若无效则填0，
//若有效则仅可将i号结点与j对应的节点（假定为k）相连，然后将k与//0号结点相连。
if(flag==1)
{
while( !(t&1) )
{k++;t=t>>1;} k++;
if(i==k) dp[i][j]=0;
else dp[i][j]=dp[0][j]+a[i][k];
continue;
}
//普通位置的结点，遍历j中对应集合含有的元素，假定为kx，
//若存在kx==i,则证明i已在集合中，该位置无效，填0。
//若不存在kx==i，则遍历kx，求d=a[i][kx]+dp[k][1<<(kx-1)^j]中的最小值，填到dp数组对应位置
while(t)
{
k++;
if(k==1) kl=1;
else kl=kl<<1;
if(t&1)
{
if(k==i)
{
mind=0;
break;
}
d=a[i][k]+dp[k][kl^j];
if(d<mind) mind=d;
}
t=t>>1;
}
dp[i][j]=mind;
}
flag=0;
}
return dp[0][m-1];
}
int main()
{
cin>>n;
m=1<<(n-1);
a=new int *[n];
dp=new int *[n];
for(int i=0; i<=n; i++)
{
a[i]=new int [n];
dp[i]=new int [m];
memset(dp[i],0,m*sizeof(int));
}
for(int i=0; i<n; i++)
{
a[i][i]=0;
for(int j=i+1; j<n; j++)
{
cin>>a[i][j];
a[j][i]=a[i][j];
}
}
//调用函数进行dp矩阵的填写
bestc=tsp();
cout<<bestc<<endl;
return 0;
}
时间复杂度分析：
该算法的主题部分在于函数tsp()，在此前的准备工作中，邻接矩阵的读入费时为
。在tsp()函数中，首先执行dp数组的初始化，填写j标识单个元素（除0位置元素外）存在于数组中的列的首行元素，该过程的时间复杂度为O(n)，接下来进行两层for循环，对dp数组的每一个位置进行填写。其中，根据我们之前的算法设计过程可知，dp数组的大小为n行2^(n-1)列。在填写数据的过程中，需要对j进行不断地右移取数操作，来进行将i号点加入该集合的最小距离花费，因此该过程的时间复杂度为
。填完dp数组，tsp的功能就完成了。综合以上分析，动态规划法解决本实验问题的时间复杂度为
。
标签：tsp,旅行,结点,kx,解法,数组,集合,动态,dp 来源： https://blog.csdn.net/qq_45720855/article/details/119704151
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