前置知识
位运算，状态压缩基本原理。
| 二进制操作 | 符号 | 运算规则 |
|---|---|---|
| 按位与 | & | 对于每一位二进制数比较，如果都为 1 取 1，否则取 0 |
| 按位或 | | | 对于每一位二进制数比较，如果都为 0 取 0，否则取 1 |
| 按位非 | ~ | 对于每一位二进制，0 变成 1，1 变成 0 |
| 按位左移 | << | 将这个数的二进制表示向左移动一位，越界丢弃，低位补 0 |
| 按位右移 | >> | 将这个数的二进制表示向右移动一位，越界丢弃，高位补 0 |
| 按位异或 | ^ | 对于每一位二进制数比较，如果两个不同取 1，否则取 0 |
这种运算较为简便，而且常数非常小，在非状态压缩的情况下也经常使用。
二进制数压缩 bool 数组操作
| 操作 | 运算 |
|---|---|
| 取出整数 \(n\) 在二进制表示下的第 \(k\) 位 | (n >> k) & 1 |
| 取出整数 \(n\) 在二进制表示下的后 \(k\) 位 | n & ((1 << k) - 1) |
| 将整数 \(n\) 在二进制表示下的第 \(k\) 位取反 | n ^ (1 << k) |
| 将整数 \(n\) 在二进制表示下的第 \(k\) 位赋 \(1\) | n | (1 << k) |
| 将整数 \(n\) 在二进制表示下的第 \(k\) 位赋 \(0\) | n & (~(1 << k)) |
正确性证明
操作 1
将 \(n\) 右移 \(k\) 位后，其末即为第 \(k\) 位。此时将其和 \(1\) 按位与即可舍弃前面所有的位上的数据（原因是 \(1\) 的二进制表示中其他位全部为 \(0\)，按位与后的结果也是 \(0\) ），比较最后一位是 \(0\) 还是 \(1\)。若为 \(0\) 则返回 \(0\)，反之亦然。
操作 2
将 \(1\) 向左移 \(k\) 位后减 \(1\) 会得到 \(2^k - 1\) 的形式。这样的形式的二进制表达类似于 111...11 ，总共有 \(k-1\) 个 \(1\)。将原数和该数按位或该数，会自动忽略高位，原因同上。同时其原理也是 \(0\) 或 \(1\) 与上 \(1\) 总是等于自身。
操作 3
1 << k 操作的含义同上。\(0\) 或 \(1\) 异或上 \(1\) 总是取反，当 \(0\) 异或 \(1\) 两者不同结果是 \(1\)，而 \(1\) 刚好相反。这样可以利用一个形如 100...00 的二进制数，对单个位进行取反，故正确。
操作 4
1 << k 操作的含义同上。\(0\) 或 \(1\) 或上 \(1\) 总是为 \(1\)。这是基础定义，不用 Sora 多解释了。
操作 5
1 << k 操作的含义同上。但是将这个数取反就会得到一个形如 111...11011..111 的数。同时，我们知道 \(0\) 或 \(1\) 与上 \(0\) 总是为 \(0\)，\(0\) 或 \(1\) 与上 \(1\) 总是等于自身，那么就相当于修改了第 \(k\) 位为 \(0\)。认为这个操作比较妙。
标签：二进制,取反,整数,一位,按位,数组,操作,bool 来源： https://www.cnblogs.com/Inversentropir-36/p/15101472.html
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