标签：numRows nn int 个数 力扣 杨辉三角 mathcal

给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。

在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

示例 1:

输入: numRows = 5
输出: [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]]
示例 2:

输入: numRows = 1
输出: [[1]]

方法：

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。它是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。

杨辉三角具有以下性质：

每行数字左右对称，由 11 开始逐渐变大再变小，并最终回到 11。

第 nn 行（从 00 开始编号）的数字有 n+1n+1 项，前 nn 行共有 \frac{n(n+1)}{2} 
2
n(n+1)
​    
  个数。

第 nn 行的第 mm 个数（从 00 开始编号）可表示为可以被表示为组合数 \mathcal{C}(n,m)C(n,m)，记作 \mathcal{C}_n^mC 
n
m
​    
  或 \binom{n}{m}( 
m
n
​    
 )，即为从 nn 个不同元素中取 mm 个元素的组合数。我们可以用公式来表示它：\mathcal{C}_n^m=\dfrac{n!}{m!\times (n-m)!}C 
n
m
​    
 = 
m!×(n−m)!
n!
​    
 

每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可用此性质写出整个杨辉三角。即第 nn 行的第 ii 个数等于第 n-1n−1 行的第 i-1i−1 个数和第 ii 个数之和。这也是组合数的性质之一，即 \mathcal{C}_n^i=\mathcal{C}_{n-1}^i+\mathcal{C}_{n-1}^{i-1}C 
n
i
​    
 =C 
n−1
i
​    
 +C 
n−1
i−1
​    
 。

(a+b)^n(a+b) 
n
  的展开式（二项式展开）中的各项系数依次对应杨辉三角的第 nn 行中的每一项。

依据性质 44，我们可以一行一行地计算杨辉三角。每当我们计算出第 ii 行的值，我们就可以在线性时间复杂度内计算出第 i+1i+1 行的值。

class Solution {
    public List<List<Integer>> generate(int numRows) {
        List<List<Integer>> ret = new ArrayList<List<Integer>>();
        for (int i = 0; i < numRows; ++i) {
            List<Integer> row = new ArrayList<Integer>();
            for (int j = 0; j <= i; ++j) {
                if (j == 0 || j == i) {
                    row.add(1);
                } else {
                    row.add(ret.get(i - 1).get(j - 1) + ret.get(i - 1).get(j));
                }
            }
            ret.add(row);
        }
        return ret;
    }
}

标签：numRows,nn,int,个数,力扣,杨辉三角,mathcal
来源： https://blog.csdn.net/txwhmeng/article/details/119218215

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