标签：拐点 ln 切线 dfrac 16 sqrt MT le3 293

(2018浙江高考压轴题)
已知函数$f(x)=\sqrt{x}-\ln x.$
(2)若$a\le 3-4\ln 2,$证明:对于任意$k>0$,直线$y=kx+a$ 与曲线$y=f(x)$有唯一的公共点.

分析：等价于$k=\dfrac{\sqrt{x}-\ln x-a}{x}$有唯一解.记$g(x)=\dfrac{\sqrt{x}-\ln x-a}{x}$,则$g^{'}(x)=\dfrac{\ln x-\dfrac{\sqrt{x}}{2}-1+a}{x^2}$,
记$h(x)=\ln x-\frac{\sqrt{x}}{2}-1+a$,则$h^{'}(x)=\dfrac{4-\sqrt{x}}{4x}$,故$h(x)$在$(0,16)$单调递减$(16,+\infty)$单调递增.
所以$h(x)_{max}=h(16)=\ln(16)-3+a\le0$,所以$g^{'}(x)<0$,即$g(x)$单调递减.又$\lim\limits_{x\rightarrow0}(\dfrac{\sqrt{x}-\ln x-a}{x})= +\infty,\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}(\dfrac{\sqrt{x}-\ln x-a}{x})=0$,故$k>0$时$y=k$与$g(x)=\dfrac{\sqrt{x}-\ln x-a}{x}$有且只有一个交点.

注:这里$a\le 3-4\ln 2$的条件可以考虑$f(x)=\sqrt{x}-\ln x.$的二阶导数的拐点$f^{''}(x)=-\dfrac{1}{4}x^{\frac{3}{2}}+x^{-2}=0$得拐点为$x=16$,求拐点处的切线方程:$y=\dfrac{1}{16}x+3-4\ln2$.
考虑$f(x)$的图像,当$a\le3-4\ln2$时,对于任意$k>0$,直线$y=kx+a$ 与曲线$y=f(x)$有唯一的公共点.

练习:若对任意$a>0$,函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+1$在开区间$(-\infty,0)$内有且仅有一个零点,则实数$b$的取值范围_____
提示:只需考虑$y=ax+b$与$y=-x^2-\dfrac{1}{x}$图像交点，考虑拐点处切线方程:$y=3x+3$分析$y=-x^2-\dfrac{1}{x}$图像,易得$b\le3$

注:无非就是$b\ge3$或者$b\le3$，从图像中看若$b\ge3$，可以取$b$足够大，显然当$a>0$时可以有两个交点,故只有一个交点时$b\le3$

标签：拐点,ln,切线,dfrac,16,sqrt,MT,le3,293
来源： https://www.cnblogs.com/mathstudy/p/10350882.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。