标签：frac ll exgcd leq 鱼跃龙门 2n include jzoj7177

正题

题目链接:https://gmoj.net/senior/#main/show/7177

---

题目大意

给出\(n\)求一个最小的\(x(x>0)\)满足

\[\left(\sum_{i=1}^xi\right)\equiv 0(\mod n) \]

\(1\leq n\leq 10^{12},1\leq T\leq 100\)

---

解题思路

转成等比数列求和就是

\[\frac{i(i+1)}{2}\equiv 0(\mod n)\Rightarrow i(i+1)=2kn \]

从里面获得一下信息，考虑枚举\(2n\)的所有约数\(d\)，那么我们有\(xd\times y\frac{2n}{d}=2kn\)。

也就是设\(y\frac{2n}{d}=xd+1\)，这个式子我们用\(exgcd\)求出最小解然后所有里面取最小的。

然后是一点优化，首先暴力枚举约数是\(O(\sqrt n)\)的，我们可以质因数分解之后搜索就是\(O(\sigma_0(n))\)的了。

然后因为\(i\)和\((i+1)\)一定互质，所以\(d\)和\(\frac{2n}{d}\)不能有相同的质因子。

这样应该就能过了。

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10;
ll T,n,ans,cnt,tot,pri[N/10],p[30];
bool v[N];
void Prime(){
	for(ll i=2;i<N;i++){
		if(!v[i])pri[++cnt]=i;
		for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){
			v[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)break;
		}
	}
	return;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(!b){x=1;y=0;return a;}
	ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
	ll z=y;y=x-(a/b)*y;x=z;
	return d;
}
void solve(ll x,ll f){
	if(x>tot){
		if(f==1||f==n)return;
		ll a=n/f,b=f,X,Y;
		ll d=exgcd(a,b,X,Y);
		Y=-Y;
		if(X<0){Y+=((-X+b-1)/b)*a;X+=((-X+b-1)/b)*b;}
		if(X>0){Y-=(X/b)*a;X-=(X/b)*b;}
		if(Y<0){X+=((-Y+a-1)/a)*b;Y+=((-Y+a-1)/a)*a;}
		ans=min(ans,min(X*a,Y*b));
		return;
	}
	solve(x+1,f);
	solve(x+1,f*p[x]);
	return;
}
signed main()
{
	Prime();
	scanf("%lld",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld",&n);tot=0;
		n=n*2;ll x=n;ans=n-1;
		for(ll i=1;i<=cnt;i++){
			if(x%pri[i]==0){
				p[++tot]=1;
				while(x%pri[i]==0)
					p[tot]*=pri[i],x/=pri[i];
			}
		}
		if(x!=1){p[++tot]=x;}
		solve(1,1);
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

标签：frac,ll,exgcd,leq,鱼跃龙门,2n,include,jzoj7177
来源： https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/15015928.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。