欧式空间 $\mathbb{R}^{3}$ : $(X,Y,Z)^{T}$ ,为非齐次的卡式坐标。
3D投影空间 $\mathbb{P}^{3}$ : $\textbf{X} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})^{T}$ ,除去 $(0, 0,0,0)^{T}$ 表示为齐次投影坐标。如果 $x_{4} \neq 0$ ,则 $\textbf{X}$ 代表代表欧式空间 $\mathbb{R}^{3}$ 内的点 $(X,Y,Z)^{T} = (\frac{x_{1}}{x_{4}}, \frac{x_{2}}{x_{4}},\frac{x_{3}}{x_{4}})^{T}$ 。
等效关系：如果存在一个值 $\lambda$ ，它使得 $\textbf{X} = \lambda \textbf{X}^{'}$ ，那么我们称二者等效，写作 $\textbf{X} \equiv \textbf{X}^{'}$
无穷远点：齐次坐标 $(x_{1},x_{2},x_{3},0)$ 表示无穷远点，也叫理想点。它们形成一个平面 $\pi_{\infty}$ = $(0,0,0,1)^{T}$ ,该平面与所有无穷远点有关系 $\pi_{\infty}^{T}.\textbf{X}=0$

2、3D投影空间中的平面

3D投影空间 $\mathbb{P}^{3}$ 可以写成

$\pi_{1}x_{1} + \pi_{2}x_{2} + \pi_{3}x_{3} + \pi_{4}x_{4} = 0$

该式可以缩写称：

$\pi \textbf{X}=0$

其中 $\pi = (\pi_{1}, \pi_{2}, \pi_{3},\pi_{4})^{T}$ ,前面三个数字表示该平面的法向量。如果用非齐次坐标来表示，那么有 $\textbf{X} = (\widetilde{X},1)^{T}$ ,那么相应的 $\pi = (\textbf{n}, d)^{T}$ ,其中 $\textbf{n} = (\pi_{1},\pi_{2},\pi_{3})^{T}$ , $\widetilde{X} = (X,Y,Z)^{T}$ , $d = \pi_{4}$ 。那么我们可以用非齐次的方式把上面的缩写写成：

$\textbf{n}.\widetilde{X} +d =0$

三个不共线的点确定一个平面
两个不同的平面相交于一条直线
三个不同的平面相交于一个点

3、3D投影空间中的二次曲面

（1）3D投影空间中二次曲面的定义：

$\textbf{X}^{T}Q\textbf{X} = 0$

（2）二次曲面的一些性质：

自由度为9， $4 \times 4$ 对称矩阵自由度为10，再减去一个全局尺度，所以为9。
一般位置上的9个点确定一个二次曲面。
如果矩阵 $Q$ 是奇异的，那么二次曲面是退化的，它可以由更少的点确定。
二次曲面的对偶依然是二次曲面。

上图是一些二次曲面的例子

4、投影相机

（1）投影相机定义

$\textbf{x}_{im} = P \textbf{X}_{w}$

其中 $\textbf{X}_{w} \in \mathbb{P}^{3}$ 表示世界坐标系中的点。 $\textbf{x}_{im} \in \mathbb{P}^{2}$ 表示图像坐标点。

5、3D投影变换

对于齐次坐标的3D投影空间 $\mathbb{P}^{3}$ 中的两个点 $\textbf{X}, \textbf{X}^{'}$ ，我们把它们之间的投影变换用一个 $4 \times 4$ 的非奇异矩阵 $H$ ，表示如下：

$\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{llll} h_{11} & h_{12} & h_{13} & h_{14} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} & h_{24} \\ h_{31} & h_{32} & h_{33} & h_{34} \\ h_{41} & h_{42} & h_{43} & h_{44} \end{array}\right) \mathbf{X}$

$\textbf{X}^{'} = H \textbf{X}$

它的自由度为15，因为它去掉一个缩放因子。

（1）欧式变换

对于3D投影空间 $\mathbb{P}^{3}$ 的齐次坐标点 $\textbf{X}, \textbf{X}^{'}$ ，欧式变换为：

$\mathbf{X}^{\prime}=H_{e} \mathbf{X}=\left(\begin{array}{rl} R & \vec{t} \\ \overrightarrow{0}^{T} & 1 \end{array}\right) \mathbf{X}$

它的自由度为6：3个为欧拉角转换到旋转矩阵 $R$ ，3个为偏移向量 $\overrightarrow{t} = (t_{x}, t_{y}, t_{z})$ 。

它的不变量为：长度和角度

（2）相似变换

对于3D投影空间 $\mathbb{P}^{3}$ 的齐次坐标点 $\textbf{X}, \textbf{X}^{'}$ ，相似变换为：

$\mathbf{X}^{\prime}=H_{s} \mathbf{X}=\left(\begin{array}{cc} s R & \vec{t} \\ \overrightarrow{0}^{T} & 1 \end{array}\right) \mathbf{X}$

和2D投影相似变换一样，它比欧式变换多了一个缩放因子，所以自由度为6+1=7。不变量为角度、长度比，面积比

（3）仿射变换

对于3D投影空间 $\mathbb{P}^{3}$ 的齐次坐标点 $\textbf{X}, \textbf{X}^{'}$ ，仿射变换为：

$\mathbf{X}^{\prime}=H_{\mathrm{a}} \mathbf{X}=\left(\begin{array}{rr} A & \vec{t} \\ \overrightarrow{0}^{T} & 1 \end{array}\right) \mathbf{X}$

仿射变换矩阵 $H_{a}$ 的自由度为12，其中9个自由度为非奇异矩阵 $A$ ，3个为偏移向量 $\overrightarrow{t}$ 。不变量为平行性质、体积比、无穷远平面 $\pi_{\infty}$

（4）投影变换

对于3D投影空间 $\mathbb{P}^{3}$ 的齐次坐标点 $\textbf{X}, \textbf{X}^{'}$ ，投影变换为：

$\mathbf{X}^{\prime}=H_{p} \mathbf{X}=\left(\begin{array}{rl} A & \vec{t} \\ \vec{v}^{T} & v \end{array}\right) \mathbf{X}$

其中 $H_{p}$ 为单应性矩阵：

$H_{p}=\left(\begin{array}{llll} h_{11} & h_{12} & h_{13} & h_{14} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} & h_{24} \\ h_{31} & h_{32} & h_{33} & h_{34} \\ h_{41} & h_{42} & h_{43} & h_{44} \end{array}\right)$

它的自由度为15：16个自由度减去一个缩放因子。不变量为接触表面的接、交，以及交比。

（5）3D单应性矩阵在点、平面、二次曲面的使用

点： $\textbf{X}^{'} = H \textbf{X}$

面： $\pi^{'} = H^{-T} \pi$

二次曲面： $Q^{\prime}=H^{-T} Q H^{-1}$

标签：十讲,投影,二次曲面,齐次,空间,平面,Vision,3D
来源： https://blog.csdn.net/u010772377/article/details/118512441

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3D Vision 十讲：第二讲

四、3D投影几何以及变换

1、3D投影空间中的点