首页 > 其他分享> 文章详细

[SHOI2006] 有色图

2021-06-26 13:31:18 阅读：127 来源： 互联网

标签：cnt matrix int 54 top 有色等价 SHOI2006

tag：polya，组合计数

很显然要用到polya。

此题中的变换可以理解为，枚举一个排列 \(p\)，把 \(i\) 变成 \(p_i\)。

那么根据polya，有

\[ans=\sum_{p}m^\text{等价类个数} \]

那么此题中的等价类是什么意思呢。

注意到我们要求的是对边进行染色的方案，所以这里的等价关系指的就是 \((u,v)\) 和 \((p_u,p_v)\)。

观察数据范围，根据常用套路，我们考虑将置换拆成若干个循环，那么一对长度为 \(a,b\) 的循环能够贡献多少个等价类呢？

以 \(2,3\) 为例子

\[\begin{matrix}1&2&3&1&2&3\\1&2&1&2&1&2\end{matrix} \]

可以发现一个等价类的大小为 \(lcm(a,b)\)，而一共有 \(ab\) 条边，所以等价类就有 \(\frac{ab}{lcm(ab)}=\gcd(a,b)\) 个。

然后考虑一个循环内部能贡献几个等价类。

以 \(5\) 为例子

\[\begin{matrix}1&2&3&4&5\\2&3&4&5&1\end{matrix} \]

\[\begin{matrix}1&2&3&4&5\\3&4&5&1&2\end{matrix} \]

注意到每个等价类会把 \((1,i+1)\) 和 \((1,n-i+1)\) 归为一类，所以实际上就有 \(\lceil\frac{n-1}2\rceil\) 个等价类。

实现的时候 \(53\) 的拆分数是 \(329931\)，所以暴力枚举拆分就好了。

然后分 \(3\) 种情况：

长度不同的组：\(cnt_i\cdot cnt_j\cdot\gcd(a_i,a_j)\)
长度相同的组：\(\binom{cnt_i}2a_i\)
组内贡献：\(cnt_i\lceil\frac{a_i-1}2\rceil\)

然后还要乘上这种拆分对应的方案数：

先选出每组的数，然后乘上组内方案，同长度的组要去重。

\[\frac{n!}{\prod(len_i!)}\cdot\prod(len_i-1)\cdot\prod\frac1{cnt_i!}=\frac{n!}{\prod len_i\prod cnt_i!} \]

\(cnt_i\) 表示长度为 \(i\) 的循环有 \(cnt_i\) 个。

由于最后要除以 \(n!\)，所以这里的 \(n!\) 可以扔掉。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
   
template<typename T>
inline void Read(T &n){
    char ch; bool flag=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))if(ch=='-')flag=true;
    for(n=ch^48;isdigit(ch=getchar());n=(n<<1)+(n<<3)+(ch^48));
    if(flag)n=-n;
}

int n, m, p;

inline int ksm(int base, int k=p-2){
    int res=1;
    while(k){
        if(k&1)
            res = 1ll*res*base%p;
        base = 1ll*base*base%p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

int a[54], cnt[54], top, jc[54], invjc[54], inv[54];
int gcd[54][54], ans;

inline void solve(){
    int res=0;
    for(int i=1; i<=top; i++) for(int j=i+1; j<=top; j++) res += cnt[i]*cnt[j]*gcd[a[i]][a[j]];
    for(int i=1; i<=top; i++) res += cnt[i]*(cnt[i]-1)/2*a[i];
    for(int i=1; i<=top; i++) res += cnt[i]*(a[i]/2);
    res = ksm(m,res);
    int tmp=1;
    for(int i=1; i<=top; i++) tmp = 1ll*tmp*invjc[cnt[i]]%p*ksm(inv[a[i]],cnt[i])%p;
    ans = (ans+1ll*res*tmp)%p;
}

void dfs(int rem, int prv){
    if(!rem) return solve();
    if(prv and (rem-prv>=prv or rem==prv)) cnt[top]++, dfs(rem-prv,prv), cnt[top]--;
    top++;
    for(int i=prv+1; i<=rem-i; i++){
        a[top] = i; cnt[top] = 1;
        dfs(rem-i,i);
    }
    if(rem>prv) a[top] = rem, cnt[top] = 1, dfs(0,rem);
    a[top] = 0; cnt[top] = 0; top--;
}

int Gcd(int a, int b){return b?Gcd(b,a%b):a;}

int main(){
    Read(n); Read(m); Read(p);
    for(int i=1; i<=n; i++) for(int j=1; j<=n; j++) gcd[i][j] = Gcd(i,j);
    for(int i=1; i<=n; i++) inv[i] = ksm(i);
    jc[0] = 1; for(int i=1; i<=n; i++) jc[i] = 1ll*jc[i-1]*i%p;
    invjc[n] = ksm(jc[n]); for(int i=n; i; i--) invjc[i-1] = 1ll*invjc[i]*i%p;
    dfs(n,0);
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}

标签：cnt,matrix,int,54,top,有色,等价,SHOI2006
来源： https://www.cnblogs.com/oisdoaiu/p/14934034.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。

ICode9

[SHOI2006] 有色图