标签：数学模型 多项式 系统 环节 分母 传递函数 复域 自控 时间常数
文章目录
A 复域数学模型A.a传递函数
1 为什么要引入传递函数：
微分方程模型的优缺点：
- 是时间域的数学模型，比较直观
- 借助于电子计算机可以迅速而准确的求得结果
- 不便于分析结构或参数变化对系统性能的影响
因此，微分方程的方法研究控制系统对于参数变化或结构形式 的改变的分析具有局限性。
而传递函数：
- 复数域的数学模型
- 除了可以表征系统的动态特性外，在研究系统结构或参数变化对性能的影响方面非常方便
2 什么是传递函数：
定义：线性定常系统的传递函数，是零初始条件下系统输出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比
几点说明：
-
线性定常系统：传递函数就是针对线性定常系统来定义的，
对非线性的或时变的系统是不适用的。 -
零初始条件的含义：
1 系统的输入在t>0时才作用于系统。即在t=0时系统输 入及其各项导数均为零
2 输入在加于系统之前，系统为稳态。即在t=0时输出及 其所有导数为零。 -
不满足零初始条件的系统是否有传递函数：有，此时我们仍然在零初始条件下求系统的传递函数。
3 传递函数：已知微分方程模型求传递函数
设线性定常系统由 下述n阶线性常微分 方程描述：
式中
c
(
t
)
c(t)
c(t)是系统输出量，
r
(
t
)
r(t)
r(t)是系统输入量，
a
i
(
i
=
1
,
2
,
…
n
)
和
b
j
(
j
=
1
,
2
,
…
.
m
)
ai(i=1,2,…n)和 bj(j=1,2,….m)
ai(i=1,2,…n)和bj(j=1,2,….m)是与系统结构和参数有关的常系数（实数）。
令
C
(
s
)
=
L
[
c
(
t
)
]
，
R
(
s
)
=
L
[
r
(
t
)
]
C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]
C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，设
r
(
t
)
r(t)
r(t)和
c
(
t
)
c(t)
c(t)及其各阶导数在 t=0时的值为0，即满足零初始条件，对上式中各项分别求拉氏 变换，可得s的代数方程为
由定义得系统的传递函数的标准形式为 ：
4 几个概念
控制系统的传递函数：
其中：
a
i
(
i
=
1
,
2
,
…
n
)
和
b
j
(
j
=
1
,
2
,
…
.
m
)
ai(i=1,2,…n)和bj(j=1,2,….m)
ai(i=1,2,…n)和bj(j=1,2,….m)是与系统结构和参数有关 的常系数。
M(s)为分子多项式，N(s)为分母多项式。对于实际的物 理系统，ai和bj为实数
系统的特征多项式：分母多项式
系统的特征方程：N(s)=0
系统的极点（特征根）：N(s)=0的根。
系统的零点：M(s)=0的根。
系统的阶次：分母多项式的阶次。
零极点分布图：在复数平面上，用○表示零点，用╳表 示极点。
无论是系统的零点还是极点，如果是复数，则必然共轭成对。
5 传递函数的标准形式：
-
有理分式形式：
-
零极点形式：传递函数的分子分母经因式分解后可得：
-
时间常数形式：将传递函数的分子分母变为尾一多项式（实数项为1）， 并在实数范围内因式分解：
由于分子分母都是s的多项式，因此称为有理多项式。
如果把传递函数的分子和分母经过因式分解，在分别写成一次因式的乘积，就得到传递函数的零极点形式（首一标准型）。
如果把分子分母的多项式分解为尾一多项式（常数项为1），得到一次因式和二次因式的乘积的形式，就是时间常数项形式（尾一标准型）。时间常数形式，把传递函数化成典型的时间常数组合，从而便于开展时域和频域分析。
例子：
6 传递函数的性质：
-
1 传递函数与微分方程：将微分方程算符d/dt用复数s置换可 以得到传递函数。反之亦然
-
2 传递函数反映系统自身固有特性，
与输入和初始条件无关。 -
3 不同的物理系统可能有相同的传递函数（如相似系统），而同一系统可以 有不同的传递函数。
-
4 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系， 如果是多输入多输出系统，可以用传递函数阵表示。
-
5 传递函数与单位脉冲响应之间是拉氏变换与拉氏反变换的关系(单位脉冲响应：
零初始条件下单位脉冲输入作用下的输出响应。类似的定义还有“单位阶跃响应”。)
-
6 一般情况下，传递函数分子的阶数m与分母的阶数n满足 n≥m(称为物理现实性条件，
输出小于输入)。
为什么m>n在实际中不可实现？
因为能量有限，系统具有惯性。
假设存在G(s)=s， 当输入信号为单位阶跃信号1(t)时，系统的输出：
即为单位脉冲函数。这在现实世界是不可能的。
G ( s ) = C ( s ) R ( s ) = s m n G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=s\qquad\frac{m}{n} G(s)=R(s)C(s)=snm
求传递函数例题：
如果不满足零初始条件：
例子：
7 传递函数的局限性：
- 只适于线性定常系统的表达
- 零初始条件下得到，不反映初始状态信息。
- 只反映输入和输出之间的关系，不反映系统内部信息。
A.b 典型环节的传递函数
传递函数的时间常数形式：
比例环节：
K为比例系数，比例环节又称无惯性环节或放大环节。 既无零点、又无极点。
性质：比例环节输出与输入成正比， 不失真也不滞后。
实例：理想的杠杆、放大器、测速 发电机，电位器。
惯性环节：
T为时间常数，K为放大系数(比例系数)。 惯性环节无零点。
性质：当系统输入有阶跃变化时， 系统输出按单调指数规律上升。
积分环节
T为积分时间常数，积分环节无零点
性质：积分环节有记忆功能。
实例：运算放大器
振荡环节（二阶环节）：
T为时间常数。
ω
n
ω_n
ωn为无阻尼自然振荡频率。 ζ为阻尼比。
微分环节：
微分环节无极点。 对单位阶跃函数，微分环节的输出为脉冲 函数。
性质：输出与输入的一阶导数成正比。
一阶微分环节：
二阶微分环节：
延滞环节
具有延滞环节的系统叫做延滞系统。
性质：延滞环节将输入延迟τ时间 后才输出。系统中存在延滞环节时， 对系统的稳定性不利。
实例：管道运输过程。
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