标签：定义 坐标轴 旋转 角度 坐标系 欧拉角

欧拉角是一种表示三维旋转的描述方法，欧拉角的计算需要借助旋转矩阵，关于旋转矩阵的知识可先参考之前的文章：3维旋转矩阵推导与助记

静态定义

对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。

• 参考系又称为实验室参考系，是静止不动的，可以先简单的理解理解为大地坐标系，也称惯性坐标系。
• 坐标系则固定于刚体，随著刚体的旋转而旋转，比如飞行器自身的坐标系，也称载体坐标系。

如上图为一种ZYZ顺序旋转的欧拉角示意图：

• 设蓝色的xyz-轴为惯性系的参考轴，即大地坐标系的3个轴。
• 设红色的XYZ轴为载体系的参考轴，即飞行器坐标系的3个轴。
• 称xy-平面与XY-平面的相交为交点线，用英文字母N表示。

图中的角度符号：

• α是x-轴与交点线的夹角，载体坐标系先绕Z轴旋转了α角度（范围0~2Pi弧度）。
• β是z-轴与Z-轴的夹角，载体坐标系又绕当前的Y轴旋转了β角度（范围0~Pi弧度）。
• γ是交点线与X-轴的夹角，载体坐标系又绕当前的Z轴旋转了γ角度（范围0~2Pi弧度）。
• 这里角度的正负是按照右手定则，如右手大拇指指向z-轴，四指弯曲的旋转方向为α正方向。

其旋转动画为：

实际上，对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有明确的规定。因此当用到欧拉角时，需要明确地表示出夹角的顺序，指定其参考轴。合法的欧拉角组中，唯一的限制是，任何两个连续的旋转，必须绕着不同的转动轴旋转。因此，一共有12种表示。

• 6种绕三条轴的旋转（Tait-Bryan Angle）：XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX
• 6种只绕两条轴的旋转（Proper Euler Angle）：XYX, YXY, XZX, ZXZ, YZY, ZYZ

动态定义

我们也可以给予欧拉角两种不同的动态定义。一种是绕固定于载体的坐标轴的三个旋转的复合；另外一种是绕大地坐标系参考轴的三个旋转的复合。

用动态的定义，我们能更了解，欧拉角在物理上的含义与应用。

注意，以下的描述, 大写字母XYZ坐标轴是旋转的载体坐标轴；小写字母xyz坐标轴是静止不动的大地参考轴。

现在以旋转顺序依次是Z、Y、X的方式来描述欧拉角的两种动态定义。

• 定义A：绕着XYZ坐标轴旋转（载体坐标轴）：

  • 最初，两个坐标系统xyz与XYZ的坐标轴都是重叠的。
  • 开始，绕着Z-轴旋转α角度。
  • 然后，绕着Y-轴旋转β角度。
  • 最后，绕着X-轴旋转γ角度。

  设任何一点P1在xyz与XYZ坐标系统的坐标分别为r1与R1。定义Z(α)为绕着Z-轴旋转α角度，Y(β)为绕着Y-轴旋转β角度，X(γ)为绕着X-轴旋转γ角度。则定义A可以表述如下：

  

  注意这里又有矩阵左乘与右乘的概念，绕载体坐标系旋转是矩阵依次左乘，即X <- Y <- Z。

• 定义B：绕着xyz坐标轴旋转（大地坐标轴）：

  • 最初，两个坐标系统xyz与XYZ的坐标轴都是重叠的。
  • 开始，绕着z-轴旋转α角度。
  • 然后，绕着y-轴旋转β角度。
  • 最后，绕着x-轴旋转γ角度。

  设任何一点P2在xyz与XYZ坐标系统的坐标分别为r2与R2。定义z(α)为绕着z-轴旋转α角度，y(β)为绕着y-轴旋转β角度，x(γ)为绕着x-轴旋转γ角度。则定义B可以表述如下：

  

  注意绕大地坐标系旋转是矩阵依次右乘，即z -> y -> x。

  定义A与静态定义的相等，这可以直接用几何制图方法来核对。

  定义A与定义B的相等可以用旋转矩阵来证明：

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