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数据库系统（4）：关系模型之关系代数

2019-03-07 22:50:17 阅读：356 来源： 互联网

重点与难点

关系代数基本操作：并、差、积、选择、投影、（更名）

关系代数扩展操作：交、 $\theta$ -连接、自然连接

关系代数复杂扩展操作：除、外连接

书写关系代数的基本思维训练：“一个集合，施加一个操作得到一个集合，依次施加关系代数操作，进而得到所需结果” “以集合为中心”

一、什么是关系代数

关系代数运算的特点
基于集合提供了一系列的关系代数操作，是一种集合思维的操作语言

关系代数操作以一个或多个关系为输入，结果是一个新的关系

用对关系的运算来表达查询，需要指明所用操作，具有一定的过程性

是一种抽象的语言，是学习其他数据库语言，如SQL等的基础

关系代数操作：集合操作和纯关系操作
集合操作：并、交、差、笛卡尔积

纯关系操作：投影、选择、连接、除

二、并相容性的概念

参与运算的两个关系及其相关属性之间有一定的对应性、可比性或意义关联性

定义：关系R和关系S存在相容性，当且仅当：
关系R和关系S的属性数目必须相同

对于任意i，关系R的第i个属性的域必须和关系S的第i个属性的域相同

三、并（Union）操作

定义：假设关系R和关系S是并相容的，则关系R与关系S的并运算结果也是一个关系，记做： $R \cup S$ ，它由或者出现在关系R中，或者出现在S中的元组构成

数学表述： $R \cup S = \{t | t \in R \vee t \in S \}$ ，其中t是元组

并运算是将两个关系的元组合并成一个关系，在合并时去掉重复的元组

四、差（Difference）操作

定义：假设关系R和关系S是并相容的，则关系R与关系S的并运算结果也是一个关系，记做： $R - S$ ，它由出现在关系R中但不出现在S中的元组构成

数学表述： $R - S = \{t | t \in R \wedge t \notin S \}$ ，其中t是元组

五、广义笛卡尔积（Cartesian Product）操作

定义：关系R $(<a_{1},a_{2},...,a_{n} >)$ 与关系S $(<b_{1},b_{2},...,b_{m} >)$ 的广义笛卡尔积（简称广义积或笛卡尔积）运算结果也是一个关系，记做： $R \times S$ ，它由关系R中的元组与关系S的元组进行所有可能的凭借（或串接）构成。

数学描述： $R \times S = \{<a_{1}, a_{2},...,a_{n},b_{1}, b_{2},...,b_{m}> |\\ <a_{1}, a_{2},...,a_{n}> \ \in R \ \wedge <b_{1}, b_{2},...,b_{m}> \ \in S\}$

$R \times S = S \times R$ （行位置无关性和列位置无关性）

R是n度关系，S是m度关系， $R \times S$ 是 $n+m$ 度关系

R基数是x，S基数是y， $R \times S$ 基数是 $x \times y$

六、选择（Select）操作

定义：给定一个关系R，同时给定一个选择的条件condition（简记con），选择运算结果也是一个关系，记做 $\sigma_{con}(R)$ ，它从关系R中选择出满足给定条件condition的元组构成。

数学描述： $\sigma_{con}(R) = \{t\ |\ t \in R \wedge con(t) =\ 'true' \}$
设 $R(A_{1},A_{2},...,A_{n})$ ，t是R的元组，t的分量记做 $t[A_{i}]$ ，或简写为 $A_{i}$

条件con由逻辑运算符连接比较表达式组成

逻辑运算符： $\wedge$ ， $\vee$ ， $\lnot$ 或谢伟and，or，not

比较表达式： $X \theta Y$ ，其中X，Y是t的分量、常量或简单函数， $\theta$ 是比较运算符， $\theta \in \{ >, \ge,<,\le,=,\ne\}$

七、投影（Project）操作

定义：给定一个关系R，投影运算结果也是一个关系，记做 $\Pi_{A}(R)$ ，它从关系R中选出属性包含在A中的列构成。

数学描述： $\Pi_{A_{i1},A_{i2},...,A_{ik}}(R)=\{<t[A_{i1}],t[A_{i2}],...,t[A_{ik}]>| \ t \in R\}$
设 $R(A_{1},A_{2},...,A_{n})$

$\{{A_{i1},A_{i2},...,A_{ik} \} \subseteq \{{A_{1},A_{2},...,A_{n} \}$

$t[A_{i1}]$ 表示元组t中相应于属性 $A_{i}$ 的分量

投影运算可以对原关系的列在投影后重新排列

八、交（Intersection）操作

定义：假设关系R和关系S是并相容的，则关系R与关系S的交运算结果也是一个关系，记做： $R \cap S$ ，它由同时出现在关系R和关系S中的元组构成。

数学描述： $R \cap S=\{t\ |\ t \in R \wedge t \in S\}$ ，其中t是元组

$R \cap S = R - (R - S) = S - (S - R)$

九、theta连接（ $\theta$ -Join,theta-Join）操作及更名操作

定义：给定关系R和关系S，R和S的 $\theta$ 连接运算结果也是一个关系，记做，它由关系R和关系S的笛卡尔积中，选取R中属性A与S中属性B之间满足 $\theta$ 条件的元组构成。

数学描述：

等值连接（Equi-Join）

当 $\theta$ -连接中运算符为“=”时，就是等值连接。

数学描述：

十、自然连接（Natural-Join）操作

定义：给定关系R和关系S，R和S的自然连接运算结果也是一个关系，记做，它由关系R和关系S的笛卡尔积中选取相同属性组B上值相等的元组构成。

数学描述：
自然连接是一种特殊的等值连接

要求关系R和关系S必须有相同的属性组B

R，S属性相同，值必须相等才能连接

要在结果中去掉重复的属性列

十一、除（Division）操作

除法运算经常用于求解“查询... 全部的/所有的...”问题

前提条件：给定关系 $R(A_{1},A_{2},...,A_{n})$ 为n度关系，关系 $S(B_{1},B_{2},...,B_{m})$ 为m度关系。如果可以进行关系R与关系S的除运算，当且仅当：属性集 $\{B_{1},B_{2},...,B_{m}\}$ 是属性集 $\{A_{1},A_{2},...,A_{n}\}$ 的真子集，即 $m < n$

定义：关系R和关系S的除运算结果也是一个关系，记做 $R \div S$ ，分两部分来定义：
设属性集 $\{C_{1},C_{2},...,C_{k}\} = \{A_{1},A_{2},...,A_{n}\} - \{B_{1},B_{2},...,B_{m}\}$ ，则有k=n-m，则 $R \div S$ 结果关系是k度（n-m度）关系，由 $\{C_{1},C_{2},...,C_{k}\}$ 属性构成

再设关系 $R(<a_{1},...,a_{n}>)$ 和关系 $S(<b_{1},...,b_{m}>)$ 组合形成的一个新元组都是R中的某一个元组 $<a_{1},...,a_{n}>$

数学描述： $R \div S = \{ t \ | \ t \in \Pi_{R-S} \wedge \forall u \in S \ (tu \in R) \} \\ =\Pi_{R-S}(R)-\Pi_{R-S}((\Pi_{R-S}(R) \times S)-R)$

十二、外连接（Outer-Join）操作

定义：两个关系R与S进行连接时，如果关系R（或S）中的元组在S（或R）中找不到相匹配的元组，则为了避免该元组信息丢失，从而将该元组与S（或R）中假定存在的全为空值的元组形成连接，放置在结果关系中，这种连接称之为外连接。

外连接 = 自然连接（ $、theta$ 或 $\theta$ 连接） + 失配的元组（与全空元组形成的连接）

外连接的形式：左外连接、右外连接、全外连接
左外连接 = 自然连接（ $、theta$ 或 $\theta$ 连接） + 左侧表中失配的元组

右外连接 = 自然连接（ $、theta$ 或 $\theta$ 连接） + 右侧表中失配的元组

全外连接 = 自然连接（ $、theta$ 或 $\theta$ 连接） + 两侧表中失配的元组

标签：关系,7D%,连接,元组,20%,数据库系统,代数,_%
来源： https://blog.csdn.net/qq_36628619/article/details/88314167

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