韩信点兵算法题解

2021-01-06 23:29:18 阅读：793 来源： 互联网

在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝建立了卓越的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了知道有多少兵，同时又能保住军事机密，便让士兵排队报数：

按从1至5报数，记下最末一个士兵报的数为1；
再按从1至6报数，记下最末一个士兵报的数为5；
再按从1至7报数，记下最末一个士兵报的数为4；
最后按从1至11报数，最末一个士兵报的数为10；

请编写程序计算韩信至少有多少兵。

解体代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
    int num=0;
    num=210*10+330*4+385*5+1386;
    int n=5*6*7*11;
    printf("%d",num%n);
    return 0;
}

代码很简单，但是得理解其后面的算法思想。

参考链接：李永乐物理

个人的理解题目的条件：

我们首先需要求一个数num，使得num%5=1,num%6=5,num%7=4,num%11=10
我们得使这个num在满足以上条件的情况下尽可能小

举例子：

3、5、7彼此互质，它们的最小公倍数是105。也就是说，105除以3、除以5或者除以7都没有余数。如果一个数字x是满足要求的，那么在x上加上几个105都不会改变它对3、5、7的余数

如果一个数字x是满足要求的，那么在x上加上几个105都不会改变它对3、5、7的余数。

道理：设m对x,y,z分别满足某种条件例如m%x=i,m%y=j,m%z=k,d是x,y,z的公倍数（不一定要最小公倍数），则对任意m+n*d（n=0、1、2）也满足取x模为i，取y模为j，取z模为k

延伸：同上，若d是x,y的公倍数，但不是z的公倍数，且d%z=1,即取z模余1，则对任意m+n*d（n=0、1、2）也满足取x模为i，取y模为j，但取z模为k+n*1,即（m+n*d）%z=(k+n*1)

对于条件1：

设num=0初始不满足任何条件

5、6、7的公倍数为210,210模11=19余1即210%11=1，因此又延伸可知，num=0+210*10满足num%11=10

5、6、11的公倍数为330,330模7=47余1即330%7=1，因此num=210*10+330*4满足num%7=4，同时满足num%11=10，因为330为11的倍数，因此对11的取模不产生影响。

5、7、11的公倍数为385,385模6=64余1即385%6=1，因此num=210*10+330*4+385*5，同时满足num%11=10，num%7=4，num%6=5.

6、7、11的公倍数为462,924,1386等，462%5=2,924%5=4,1386%5=1，因此选择1386作为公倍数，方便凑数满足条件，得num=210*10+330*4+385*5+1386*1=6731

得6731为满足条件1的数量，即num%5=1,num%6=5,num%7=4,num%11=10。但是6731并不一定是满足条件的最小的士兵数量。

对于条件2：

由于5、6、7、11中含有三个质数，则它们的最小公倍数为5*6*7*11=2310

由道理知6731%2310=2111是满足条件的最小的士兵数

标签：11,10,210,公倍数,题解,num%,算法,num,韩信点兵
来源： https://blog.csdn.net/zhichi_yan/article/details/112299515

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