算法图解
第一章 算法简介
1.1 引言
算法是一组完成任务的指令。任何代码片段都可视为算法。
1.2 二分查找
对数
你可能不记得什么是对数了，但很可能记得什么是幂。\(\lg100\) 相当于问“将多少个10相乘的结果是100”。答案是两个：\(10 * 10 = 100\)。因此，\(\lg100\) = 2。
对数运算是幂运算的逆运算。
\[10^2 = 100 \iff lg100 = 2\\ 10^3 = 1000 \iff lg1000 = 3\\ 2^3 = 8 \iff log_2 8 = 3\\ 2^4 = 16 \iff log_2 16 = 4\\ 2^5 = 32 \iff log_2 32 = 5\\ 对数是幂运算的逆运算 \]
本书使用的大O表示法讨论运行时间时，log指的都是\(log_2\)。使用简单查找法查找元素是，在最糟糕的情况下需要查看每一个元素。因此，如果列表包含8个数字，你最多需要检查8个数字。而使用二分查找时，最多需要检查\(log_2 n\)个元素。如果列表包含8个元素，你最多需要检查3个元素，因为\(log_2 8 = 3 \iff (2^3 = 8)\) 。如果列表包含1024个元素，你最多需要检查10个元素，因为\(log_2 1024 = 10 \iff (2^{10}) = 1024)\)。
仅当列表是有序的时候，二分查找才管用。
def binary_search(list, item):
low = 0 # low和high用于追踪要在其中查找的列表部分
high = len(list) - 1
while low <= high: # 只要范围没有缩小到只包含一个元素
mid = (low + high) / 2 # 就检查中间元素
guess = list[mid]
if guess == item: # 找到了元素
return mid
if guess > item: # 猜的数字大了
high = mid - 1
if guess < item: # 猜的数字小了
low = mid + 1
return None # 没有指定的元素
my_list = [1,3,5,7,9] # 来测试一下
print binary_search(my_list, 3) # => 1
print binary_search(my_list, -1) # => None
# 在Python中，None表示空，它意味着没有找到指定的元素
练习
- 假设有一个包含128个名字的有序列表，你要使用二分查找在其中查找一个名字，请问最多需要几步才能找到？
答：最多需要7步，因为\(log_2{128} = 7 \iff 2^{7} = 128\)
- 上面列表的长度翻倍后，最多需要几步？
答：最多需要8步，因为\(log_2 {256} = 8 \iff 2^{256} = 8\)
运行时间
每次介绍算法时，我们都将讨论起运行时间。一般而言，应选择效率最高的算法，以最大限度地减少运行时间或占用空间。
简单查找逐个地检查数字，如果列表包含100个数字，最多需要猜100次。如果列表包含40亿个数字，最多需要猜40亿次。换言之，最多需要猜测的次数与列表的长度相同，这被称为线性时间（linear time）
1.3 大O表示法
算法的运行时间以不同的速度增加。
大O表示法指出了算法有多快。例如，假设列表包含n个元素。简单查找需要检查每个元素，因此需要执行n次操作。使用大O表示法，这个运行时间为O(n)。单位秒呢？——大O表示法指的并非以秒为单位的速度。大O表示法让你能够比较操作数，它指出了算法运行时间的增速。
大O表示法指出了最糟糕情况下的运行时间。
一些常见的大O运行时间
下面按从快到慢的顺序列出了你经常会遇到的5种大O运行时间。
- O(log n)，也叫对数时间，这样的算法包括二分查找。
- O(n)，也叫线性时间，这样的算法包括简单查找。
- O(n*log n)，这样的算法包括快速排序——一种速度较快的排序算法。
- O(\(n^2\))，这样的算法包括选择排序——一种速度较慢的排序算法。
- \(O(n!)\)，这样的算法包括旅行商问题的解决方案——一种非常慢的算法。
大O表示法，我们获得的主要启示如下：
- 算法的速度指的并非时间，而是操作数的增速。
- 谈论算法的速度时，我们说的是随着输入的增加，其运行时间以什么样的速度增加。
- 算法的运行时间用大O表示法表示。
- \(O(log_2 n) 比O(n)快\)，当需要搜索的元素越多时，前者比后者快得越多。
练习
使用大O表示法给出下述各种情形的运行时间。
-
在电话簿中根据名字查找电话号码。
答：\(O(log_2 n)\)
-
在电话簿中根据电话号码找人。（提示：你必须查找正个电话簿。）
答：\(O(n)\)
-
阅读电话簿中每个人的电话号码。
答：\(O(n)\)
-
阅读电话簿中姓名以A打头的人的电话号码。这个问题比较棘手，它涉及第四章的概念。答案可能让你惊讶！
答：\(O(n)\)
你可能认为，我只对26个字母中的一个这样做，因此运行时间应为\(O(n/26)\)。需要牢记的一条简单规则是，大O表示法不考虑乘以、除以、加上或减去的数字。下面这些都不是正确的大O运行时间：\(O(n+26)、O(n-26)、O(n*26)、O(n/26)\)，它们都应表示为\(O(n)\)！
1.4 小结
- 二分查找的速度比简单查找快得多。
- \(O(log_2 n)比O(n)快\)。需要搜索的元素越多，前者比后者就越快得多。
- 算法运行时间并不以秒为单位。
- 算法的运行时间是从其增速的角度度量的。
- 算法的运行时间用大O表示法表示。
标签：log,iff,笔记,表示法,算法,查找,图解,运行 来源： https://www.cnblogs.com/Night-Watch/p/13526787.html
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