标签:Manacher 扩展 笔记 最右 算法 对称中心 radius max 回文
首先,强烈安利一篇文章,这篇文章对于\(Manacher\)的讲解本人感觉非常到位。
本文也是对上文的一个整理。虽然上文已经讲得很好了
一. 回文子串的一般解法
相信大家都知道的一个方法\(:\)枚举字符串的每一个位置作为回文子串的对称中心,同时向左向右扩展,判断是否相等,然后每次保存之前求取的最大回文子串长度,时间复杂度为\(O(n^2)\)。
在枚举时,还需要考虑对奇数回文串和偶数回文串分开处理,因为奇数回文串的对称中心是单个字符,而偶数回文串的对称中心为中间两字符的中间位置。为了结决这个问题,我们可以在每个字符的前后分别插入一个无关的字符\((\)具体是什么对结果无影响\()\),这样无论是奇数串还是偶数串都会转变为奇数串。
二. \(Manacher\)算法
首先,介绍几个\(Manacher\)算法中的几个概念\(:\)
- 回文半径数组\(radius[i]\),表示以\(i\)为对称中心的回文半径的长度,例如\(:\)
- 最右回文边界\(max\_r\),表示当前位置及之前所有位置的回文子串所有到达的最右边的位置,例如\(:\)
- 最右回文边界的对称中心\(mid\),即右边界为最右回文边界的回文子串的对称中心,例如\(:\)
然后,我们来说一下\(Manacher\)的算法流程\(:\)
第一种情况,当我们当前要扩展的点在最右回文边界\(max\_r\)的右侧时,由于其右侧点的情况我们还是未知的,所以我们只能采取朴素的做法,以要扩展的点为对称中心向两边扩展,同时更新\(radius\)数组,最右回文边界和最右回文边界的对称中心。
第二种情况,当我们要扩展的点在最右回文边界的左侧时,又要分三种情况来考虑\(:\)
首先说明一下下面将出现的变量\(:\) \(max\_l\)表示最右回文边界关于对称中心的对称点,\(p\)为当前要扩展的点,\(p_1\) 为当前要扩展的点关于对称中心的对称点,\(p_2\) 为以 \(p_1\) 为对称中心的回文子串的左边界。
\(1.\ \ p\leq max\_r\ \ and \ \ max\_l <p2\)
很显然,这种情况下,\(radius[p]=radius[p_1]\)。
\(2.\ \ p\leq max\_r\ \ and\ \ p_2 < max\_l\)
这种情况下,若我们仍取\(radius[p_1]\),很显然就会涉及到\(max\_r\)之外我们未知的区域,所以\(radius[p]\)只能取\(max\_r-p\)。
\(3.\ \ p\leq max\_r\ \ and\ \ p_2==max\_l\)
这种情况下,我们就需要继续向两边扩展\(p\),但显然我们只需要从\(max\_r\)向右扩展即可。
那么,\(Manacher\)的算法流程大致就是这样了,下面我们来感性证明一下时间复杂度\(:\)
上面的两种情况中,第二种的\(1,2\)的时间复杂度都是\(O(1)\)的,第一种情况和第二种的\(3\),\(max\_r\)都是不断向右扩展,没有回头的情况,在判断回文半径时也没有对\(max\_r\)内的点进行判断,所以\(max\_r\)是从字符串的左端点向右扩展到右端点,总复杂度为\(O(n)\)。
具体细节说清楚了,代码应该就很简单了。
code:
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
using std::string;
const int maxn = 11000002;
string x, s;
int radius[maxn << 1], max_right, mid, ans;
int main() {
std::cin >> x; s += '$', s += '#';
for (int i = 0; i < x.length(); i++) s += x[i], s += '#';
for (int i = 1; i < s.length(); i++) {
radius[i] = max_right > i ? min(radius[mid * 2 - i], max_right - i) : 1;
while (s[i - radius[i]] == s[i + radius[i]]) radius[i]++;
if (i + radius[i] > max_right) max_right = i + radius[i], mid = i;
ans = max(ans, radius[i] - 1);
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
完结撒花(✪ω✪)
标签:Manacher,扩展,笔记,最右,算法,对称中心,radius,max,回文 来源: https://www.cnblogs.com/Hydrogen-Helium/p/11737274.html
本站声明: 1. iCode9 技术分享网(下文简称本站)提供的所有内容,仅供技术学习、探讨和分享; 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关; 3. 关于本站的所有言论和文字,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关; 4. 本站文章均是网友提供,不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属;如您发现该文章侵犯了您的权益,可联系我们第一时间进行删除; 5. 本站为非盈利性的个人网站,所有内容不会用来进行牟利,也不会利用任何形式的广告来间接获益,纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。