一、基本概念
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回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。
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回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
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许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。
二、基本思想
在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。
若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
三、基本步骤 （1）针对所给问题，确定问题的解空间：首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。 （2）确定结点的扩展搜索规则 （3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。 四、算法框架 (1)问题框架
设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。
(2)非递归回溯框架
int a[n],i;
初始化数组a[];
i = 1;
while (i>0(有路可走) and (未达到目标)) // 还未回溯到头
{
if(i > n) // 搜索到叶结点
{
搜索到一个解，输出；
}
else // 处理第i个元素
{
a[i]第一个可能的值；
while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)
{
a[i]下一个可能的值；
}
if(a[i]在搜索空间内)
{
标识占用的资源；
i = i+1; // 扩展下一个结点
}
else
{
清理所占的状态空间； // 回溯
i = i –1;
}
}
(3)递归框架
int a[n];
try(int i)
{
if(i>n)
输出结果;
else
{
for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1) // 枚举i所有可能的路径
{
if(fun(j)) // 满足限界函数和约束条件
{
a[i] = j;
... // 其他操作
try(i+1);
回溯前的清理工作（如a[i]置空值等）;
}
}
}
}
五（一）回溯算法之装载问题 传送门
问题描述：
有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船，其中集装箱i的重量是wi，且不能超，即Σwi<=c1+c2。
算法思想：
——在给定的装载问题有解的情况下
最优装载方案： 首先将第一艘轮船尽可能的装满；
然后将剩余的集装箱装上第二艘轮船。
将第一艘轮船尽可能的装满等价于选取全体集装箱的一个子集，使该子集中集装箱重量之和最接近c1。
算法设计：
先考虑装载一艘轮船的情况，依次讨论每个集装箱的装载情况，共分为两种，要么装(1)，要么不装(0)，因此很明显其解空间树可以用子集树来表示。
在算法Maxloading中，返回不超过c的最大子集和，但是并没有给出到达这个最大子集和的相应子集，稍后完善。
在算法Maxloading中，调用递归函数Backtrack(1)实现回溯搜索。Backtrack(i)搜索子集树中的第i层子树。
在算法Backtrack中，当i>n时，算法搜索到叶结点，其相应的载重量为cw，如果cw>bestw，则表示当前解优于当前的最优解，此时应该更新bestw。
算法Backtrack动态地生成问题的解空间树。在每个结点处算法花费O(1)时间。子集树中结点个数为O(2^n)，故Backtrack所需的时间为O(2^n)。另外Backtrack还需要额外的O(n)的递归栈空间。
五(二)回溯算法之n后问题 传送门
八皇后问题，是一个古老而著名的问题.该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法?
那么，我们将8皇后问题推广一下，就可以得到我们的N皇后问题了。N皇后问题是一个经典的问题，在一个NxN的棋盘上放置N个皇后，使其不能互相攻击 (同一行、同一列、同一斜线上的皇后都会自动攻击) 那么问，有多少种摆法？
N皇后问题其实就是回溯算法中的一个典型应用
算法伪代码描述下面是算法的高级伪码描述，这里用一个N*N的矩阵来存储棋盘：
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算法开始, 清空棋盘，当前行设为第一行，当前列设为第一列
-
在当前行，当前列的位置上判断是否满足条件(即保证经过这一点的行,列与斜线上都没有两个皇后)，若不满足，跳到第4步
-
在当前位置上满足条件的情形：
- 在当前位置放一个皇后，若当前行是最后一行，记录一个解；
- 若当前行不是最后一行，当前行设为下一行, 当前列设为当前行的第一个待测位置；
- 若当前行是最后一行，当前列不是最后一列，当前列设为下一列；
- 若当前行是最后一行，当前列是最后一列，回溯，即清空当前行及以下各行的棋盘，然后，当前行设为上一行，当前列设为当前行的下一个待测位置。
- 以上返回到第2步
-
在当前位置上不满足条件的情形：
- 若当前列不是最后一列，当前列设为下一列，返回到第2步;
- 若当前列是最后一列了，回溯，即，若当前行已经是第一行了，算法退出，否则，清空当前行及以下各行的棋盘，然后，当前行设为上一行，当前列设为当前行的下一个待测位置，返回到第2步;
图解问题过程
为了让大家更好理解，这里画了一张图。
coding time
我们之前说过N皇后问题是回溯算法的经典应用。因此我们可以使用回溯法来解决该问题，具体实现也有两个途径，递归和非递归。
- 递归法
其实递归法算是比较简单的了。我们使用一个一维数组来存储棋盘。具体细节如下：把棋盘存储为一个一维数组a[N]，数组中第i个元素的值代表第i行的皇后位置。在判断是否冲突时也很简单：- 首先每行只有一个皇后，且在数组中只占据一个元素的位置，行冲突就不存在了。
- 其次是列冲突，判断一下是否有a[i]与当前要放置皇后的列j相等即可。
- 至于斜线冲突，通过观察可以发现所有在斜线上冲突的皇后的位置都有规律。即它们所在的行列互减的绝对值相等，即| row – i | = | col – a[i] | 。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
const int N=20; //最多放皇后的个数
int q[N]; //i表示皇后所在的行号，
//q[i]表示皇后所在的列号
int cont = 0; //统计解的个数
//输出一个解
void print(int n)
{
int i,j;
cont++;
printf("第%d个解：",cont);
for(i=1;i<=n;i++)
printf("(%d,%d) ",i,q[i]);
printf("\n");
for(i=1;i<=n;i++) //行
{
for(j=1;j<=n;j++) //列
{
if(q[i]!=j)
printf("x ");
else
printf("Q ");
}
printf("\n");
}
}
//检验第i行的k列上是否可以摆放皇后
int find(int i,int k)
{
int j=1;
while(j<i) //j=1~i-1是已经放置了皇后的行
{
//第j行的皇后是否在k列或(j,q[j])与(i,k)是否在斜线上
if(q[j]==k || abs(j-i)==abs(q[j]-k))
return 0;
j++;
}
return 1;
}
//放置皇后到棋盘上
void place(int k,int n)
{
int j;
if(k>n)
print(n); //递归出口
else
{
for(j=1;j<=n;j++) //试探第k行的每一个列
{
if(find(k,j))
{
q[k] = j; //保存位置
place(k+1,n); //接着下一行
}
}
}
}
int main1111(void)
{
int n;
printf("请输入皇后的个数(n<=20),n=:");
scanf("%d",&n);
if(n>20)
printf("n值太大，不能求解!\n");
else
{
printf("%d皇后问题求解如下(每列的皇后所在的行数):\n",n);
place(1,n); //问题从最初状态解起
printf("\n");
}
system("pause");
return 0;
}
- 迭代法
为什么还要迭代呢？因为递归效率有时候并不是那么的高。具体思路：首先对N行中的每一行进行探测，查找该行中可以放皇后的位置。具体怎么做呢？- 首先对该行的逐列进行探测，看是否可以放置皇后，如果可以，则在该列放置一个皇后，然后继续探测下一行的皇后位置。
- 如果已经探测完所有的列都没有找到可以放置皇后的列，这时候就应该回溯了，把上一行皇后的位置往后移一列。
- 如果上一行皇后移动后也找不到位置，则继续回溯直至某一行找到皇后的位置或回溯到第一行，如果第一行皇后也无法找到可以放置皇后的位置，则说明已经找到所有的解，程序终止。
- 如果该行已经是最后一行，则探测完该行后，如果找到放置皇后的位置，则说明找到一个结果，打印出来。
- 但是此时并不能在此处结束程序，因为我们要找的是所有N皇后问题所有的解，此时应该清除该行的皇后，从当前放置皇后列数的下一列继续探测。
由此可见，非递归方法的一个重要问题时何时回溯及如何回溯的问题。
具体代码如下：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define QUEEN 8 //皇后的数目
#define INITIAL -10000 //棋盘的初始值
int a[QUEEN]; //一维数组表示棋盘
void init() //对棋盘进行初始化
{
int *p;
for (p = a; p < a + QUEEN; ++p)
{
*p = INITIAL;
}
}
int valid(int row, int col) //判断第row行第col列是否可以放置皇后
{
int i;
for (i = 0; i < QUEEN; ++i) //对棋盘进行扫描
{ //判断列冲突与斜线上的冲突
if (a[i] == col || abs(i - row) == abs(a[i] - col))
return 0;
}
return 1;
}
void print() //打印输出N皇后的一组解
{
int i, j;
for (i = 0; i < QUEEN; ++i)
{
for (j = 0; j < QUEEN; ++j)
{
if (a[i] != j) //a[i]为初始值
printf("%c ", '.');
else //a[i]表示在第i行的第a[i]列可以放置皇后
printf("%c ", '#');
}
printf("\n");
}
for (i = 0; i < QUEEN; ++i)
printf("%d ", a[i]);
printf("\n");
printf("--------------------------------\n");
}
void queen() //N皇后程序
{
int n = 0;
int i = 0, j = 0;
while (i < QUEEN)
{
while (j < QUEEN) //对i行的每一列进行探测，看是否可以放置皇后
{
if(valid(i, j)) //该位置可以放置皇后
{
a[i] = j; //第i行放置皇后
j = 0; //第i行放置皇后以后，需要继续探测下一行的皇后位置，
//所以此处将j清零，从下一行的第0列开始逐列探测
break;
}
else
{
++j; //继续探测下一列
}
}
if(a[i] == INITIAL) //第i行没有找到可以放置皇后的位置
{
if (i == 0) //回溯到第一行，仍然无法找到可以放置皇后的位置，
//则说明已经找到所有的解，程序终止
break;
else //没有找到可以放置皇后的列，此时就应该回溯
{
--i;
j = a[i] + 1; //把上一行皇后的位置往后移一列
a[i] = INITIAL; //把上一行皇后的位置清除，重新探测
continue;
}
}
if (i == QUEEN - 1) //最后一行找到了一个皇后位置，
//说明找到一个结果，打印出来
{
printf("answer %d : \n", ++n);
print();
//不能在此处结束程序，因为我们要找的是N皇后问题的所有解，
//此时应该清除该行的皇后，从当前放置皇后列数的下一列继续探测。
j = a[i] + 1; //从最后一行放置皇后列数的下一列继续探测
a[i] = INITIAL; //清除最后一行的皇后位置
continue;
}
++i; //继续探测下一行的皇后位置
}
}
int main(void)
{
init();
queen();
system("pause");
return 0;
}
标签：复习,int,问题,算法,放置,回溯,皇后 来源： https://www.cnblogs.com/1138720556Gary/p/11074773.html
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