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深刻理解堆和堆排序以及在 Python 中的应用

2023-01-02 17:49:45  阅读:79  来源: 互联网

标签:Python 完全二叉树 节点 列表构建 heapify


您是否也厌倦了需要很长时间才能处理大型数据集的缓慢、低效的排序算法?

是时候跟着icode9技术分享来看看堆排序了,这是一种高性能的排序算法,可以在O(Nlg(N))时间复杂度和O(1)空间复杂度上快速高效地对数据集进行排序。

在本文中,我们将深入探讨 Python 中的堆和堆排序,探索这种强大算法的内部工作原理,并学习如何逐步实现它。

堆简介:一种基于树的数据结构

堆是满足堆特性的完全二叉树,即树中每个节点的值大于或等于其子节点的值。

有两种类型的堆:

  1. 最大堆:在最大堆中,每个节点的值都大于或等于其子节点的值,并且根节点在树中具有最大值。

  2. 最小堆:在最小堆中,每个节点的值都小于或等于其子节点的值,并且根节点在树中具有最小值。

堆排序如何工作

堆排序是一种基于比较的排序算法,它使用堆数据结构对元素列表进行排序。它的工作原理是从输入列表构建一个堆,然后重复提取根元素(最大值或最小值)并将其放在排序列表的末尾。重复此过程,直到堆为空并且列表已完全排序。

简单来说,有两个步骤:

  1. 构建堆

  2. 从堆中提取元素

  3.  

如何在 Python 中表示堆?

首先,我们需要知道如何在构建堆之前正确地表示它。

鉴于堆是一棵完全二叉树,我们可以直接使用 Python 列表来表示堆。

树的列表表示意味着真正的树在我们的脑海中。我们总是在真实代码中操作列表。

它之所以起作用,是因为列表和树之间存在以下特殊关系:

树的根始终是 index 处的元素0。

index 处节点的左孩子i存储在 index2i+1中,右孩子存储在 index2i+2中。

因此,我们总是可以通过列表的索引轻松访问树的节点。

例如,这是一个名为 的输入列表arr。

它的元素是[5, 2, 7, 1, 3]。

它代表一个原始的完全二叉树,我们需要将它转换为一个堆,如下所示:

  1. 树的根是arr[0]

  2. 根的左孩子是arr[2*0+1],右孩子是arr[2*0+2]。

如何建堆?

从列表构建堆的过程称为 heapify。

原始列表已经是二叉树的表示(树在我们的脑海中),如上所示。我们需要做的是将原始树转换为堆。

由于最大堆和最小堆具有相似的思想。下面就说说如何建立最大堆吧。

思路是自下而上遍历二叉树的非叶子节点构造一个最大堆,对于每个非叶子节点,将其与其左右子节点进行比较,将最大值与父节点交换这个子树。

为什么从非叶节点而不是最后一个节点开始?

因为叶子节点下面没有子节点,所以不需要操作。

为什么从下往上遍历而不是从上往下遍历?

如果我们从底部往上走,肯定会将最大值放入根节点(类似于冒泡排序的思想)。

提取一个元素后如何更新堆?

把原来的链表转成堆后,剩下的就简单了。我们只需要反复提取堆的根元素,也就是最大/最小元素,放到需要返回的排序列表的末尾即可。

但是,我们需要做一件事——在提取根节点后更新整个堆。

它需要两个步骤:

用堆中的最后一个元素替换根节点:删除根节点(在最大堆中具有最大值或在最小堆中具有最小值)并将其替换为堆中的最后一个元素。

再次堆化整个堆。

在 Python 中实现堆排序

话不多说,让我们看看代码:

关键功能是heapify和heapify_node。它们用于从原始列表构建堆。

使用 Python 的 heapq 模块

幸运的是,我们不需要每次都实现构建堆的基本功能。Python 有一个名为heapq.

该heapq模块提供了处理堆的功能,包括:

heappush(heap, elem):将一个元素压入堆中,保持堆属性。

heappop(heap):从堆中弹出并返回最小的元素,保持堆属性。

heapify(x):在线性时间内将常规列表就地转换为堆。

nlargest(k, iterable, key=None):返回一个列表,其中包含指定迭代器中的 k 个最大元素并满足堆属性。

nsmallest(k, iterable, key=None):返回一个列表,其中包含指定可迭代对象中的 k 个最小元素并满足堆属性。

heapq模块实现为堆队列,即优先级队列实现为堆。它是高效排序和搜索列表和其他可迭代对象的有用工具。

现在,让我们用它来做堆排序:

import heapq

def heap_sort ( arr ):
# 建立一个堆
heapq.heapify(arr)

# 从堆中逐一提取元素
sorted_arr = []
while arr:
sorted_arr.append(heapq.heappop(arr))

return sorted_arr

# 测试堆排序函数
arr = [ 5 , 21 , 207 , 19 , 3 ]
print (heap_sort(arr))
# 输出:[3, 5, 19, 21, 207]

简单又优雅,不是吗?

标签:Python,完全二叉树,节点,列表构建,heapify
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