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线性回归入门

数据生成

为了直观地看到算法的思路，我们先生成一些二维数据来直观展现

	import numpy as np
	import matplotlib.pyplot as plt
	def true_fun(X): # 这是我们设定的真实函数，即ground truth的模型
	return 1.5*X + 0.2
	np.random.seed(0) # 设置随机种子
	n_samples = 30 # 设置采样数据点的个数
	'''生成随机数据作为训练集，并且加一些噪声'''
	X_train = np.sort(np.random.rand(n_samples))
	y_train = (true_fun(X_train) + np.random.randn(n_samples) * 0.05).reshape(n_samples,1)
	# 训练数据是加上一定的随机噪声的

定义模型

我们可以直接点用sklearn中的LinearRegression即可：

	from sklearn.linear_model import LinearRegression
	model = LinearRegression() # 这就是我们的模型
	model.fit(X_train[:, np.newaxis], y_train) # 训练模型
	print("输出参数w：",model.coef_)
	print("输出参数b：",model.intercept_)

	输出参数w： [[1.4474774]]
	输出参数b： [0.22557542]

注意上面代码中的np.newaxis，因为X_train是一个一维的向量，那么其作用就是将X_train变成一个N*1的二维矩阵而已。其实写成X_train[:,None]是相同的效果。

至于为什么要这么做，你可以不这么做试一下，会报错为：

Reshape your data either using array.reshape(-1, 1) if your data has a single feature or array.reshape(1, -1) if it contains a single sample.

可以简单理解为这是sklearn的库对训练数据的要求，不能够是一个一维的向量。

模型测试与比较

可以看到我们输出为1.44和0.22，还是很接近真实答案的，那么我们选取一批测试集来看看精度：

	X_test = np.linspace(0,1,100) # 0和1之间，产生100个等间距的
	plt.plot(X_test, model.predict(X_test[:, np.newaxis]), label = "Model") # 将拟合出来的散点画出
	plt.plot(X_test, true_fun(X_test), label = "True function") # 真实结果
	plt.scatter(X_train, y_train) # 画出训练集的点
	plt.legend(loc="best") # 将标签放在最合适的位置
	plt.show()

上述情况是最简单的，但当出现更高维度时，我们就需要进行多项式回归才能够满足需求了。

多项式回归

具体实现

对于多项式回归，一般是利用线性回归求解y=∑i=1mbi×xi，因此算法如下：

	import numpy as np
	import matplotlib.pyplot as plt
	from sklearn.pipeline import Pipeline
	from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures # 导入能够计算多项式特征的类
	from sklearn.linear_model import LinearRegression
	from sklearn.model_selection import cross_val_score # 交叉验证
	def true_fun(X): # 真实函数
	return np.cos(1.5 * np.pi * X)
	np.random.seed(0)
	n_samples = 30
	X = np.sort(np.random.rand(n_samples)) # 随机采样后排序
	y = true_fun(X) + np.random.randn(n_samples) * 0.1
	degrees = [1, 4, 15] # 多项式最高次，我们分别用1次，4次和15次的多项式来尝试拟合
	plt.figure(figsize=(14, 5))
	for i in range(len(degrees)):
	ax = plt.subplot(1, len(degrees), i+1) # 总共三个图，获取第i+1个图的图像柄
	plt.setp(ax, xticks = (), yticks = ()) # 这是 设置ax图中的属性
	polynomial_features = PolynomialFeatures(degree=degrees[i],include_bias=False)
	# 建立多项式回归的类，第一个参数就是多项式的最高次数，第二个是是否包含偏置
	linear_regression = LinearRegression() # 线性回归
	pipeline = Pipeline([("polynomial_features", polynomial_features),
	("linear_regression", linear_regression)]) # 使用pipline串联模型
	pipeline.fit(X[:, np.newaxis], y)
	scores = cross_val_score(pipeline, X[:, np.newaxis], y, scoring="neg_mean_squared_error", cv=10)
	# 使用交叉验证，第一个参数为模型，第二个为输入，第三个为标签，第四个为误差计算方式，第五个为多少折
	X_test = np.linspace(0, 1, 100)
	plt.plot(X_test, pipeline.predict(X_test[:, np.newaxis]), label="Model")
	plt.plot(X_test, true_fun(X_test), label="True function")
	plt.scatter(X, y, edgecolor='b', s=20, label="Samples")
	plt.xlabel("x")
	plt.ylabel("y")
	plt.xlim((0, 1))
	plt.ylim((-2, 2))
	plt.legend(loc="best")
	plt.title("Degree {}\nMSE = {:.2e}(+/- {:.2e})".format(degrees[i], -scores.mean(), scores.std()))
	plt.show()

这里解释两个地方：

• PolynomialFeatures：这个类实际上是一个构造特征的类，因为我们原始的X是一个一维的向量，它多项式的次数为1，那我们希望构成一个多项式就需要拿X去计算X1,X2,...,Xm（这是一个变量的情况，如果是多个变量就会计算交叉乘），那么这个类就是实现这样的操作，构造成m个特征
• pipeline：这是方便我们的管道，它将各种模块加在一起让我们不用一步步去计算每一个模块，这里就是将PolynomialFeatures和线性回归模块加在一起，那我们将X传进去之后，就经过特征构造后就进行线性回归，因此拟合管道即可。

在其中我们还用到了交叉验证的思路，这部分很常见就不多做解释了。

LogisticRegression

算法思想简述

对于逻辑回归大部分是面对二分类问题，给定数据，X={x1,x2,...,}，Y={y1,y2,...,}
考虑二分类任务，那么其假设函数就是：

 

hθ(x)=g(θTx)=g(wTx+b)=11+ewTx+b

 

来表示为类别1或者类别0的概率。

那么其损失函数一般是采用极大似然估计法来定义：

 

L(θ)=∏i=1p(yi=1∣xi)=hθ(x1)(1−hθ(x))...

 

这里假设y1=1,y2=0。那么就是该函数最大化，化简可得：

 

θ∗=argminθ(−L(θ))=argminθ−ln⁡(L(θ))=∑i=1(−yiθTxi+ln⁡(1+eθTxi))

 

再利用梯度下降即可。

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