标签：04 int depth fa 算法 dx LCA root
【算法学习笔记】04 最近公共祖先LCA
原理
顾名思义，就是求两点的最近公共祖先（自己也是自己的祖先）。
也就是两点在走到根节点的路径上最先遇到的共同的点。
向上标记法
比较贴定义的原始方法。
一点先向 \(root\) 走，走过的点标记一下；然后另一点也往 \(root\) 走，走到的第一个被标记的点为二者的 \(LCA\)。时间复杂度为 \(O(n)\)
倍增法
1. 首先需要记录两个变量
1. \(f(i, j)\)
表示从 \(i\) 开始，向上走 \(2^j\) 步能到达的节点，\(0\leq j\leq logn\)
那么怎么更新？
- \(j=0\), \(f(i,j)\) 为 \(i\) 的父节点
- \(j>0\), \(f(i,j)=f(f_(i,j-1),j-1)\)，相当于跳了两个 \(2^{j-1}\)
这一过程可用 \(bfs/dfs\) 求
2. \(depth(i)\)
表示 \(i\) 的深度
哨兵
\(depth(0)=0\)
如果从 \(i\) 开始跳 \(2^j\) 步会跳过根节点，那么 \(f(i,j)=0\)。
2. 将两点跳到同一层
具体操作如下：
相当于用我们之前处理好的二进制数来拼凑 \(dx = |depth(x)-depth(y)|\)，即从后往前找到第一个满足 \(2^k \leq dx\) 的 \(k\), 然后令 \(dx -= 2^k\), 重复这个找的过程，直至 \(dx=0\)。
找的过程不用算具体值，只需判断是否满足 \(depth(f(x,k))\geq depth(y)\)即可。
3. 让两个点一直往上跳，直到跳到 \(LCA\) 的下一层（儿子那层）
为什么要到下一层？
因为到本层(\(LCA\))时无法判断是否为 \(LCA\)，为避免歧义才到下一层。
跳的过程也是二进制拼凑，从大到小枚举 \(k\), 直至 \(f(a,k)=f(b,k)\), 此时到了点\(x, y\)，在往上一层，也就是他们的父亲就是 \(LCA\)，即 \(LCA=f(x,0)=f(y,0)\)。
板子
先贴一个y总的板子来吓吓我的vsc,明天来自己写一遍
void bfs(int root)
{
memset(depth, 0x3f, sizeof depth);
depth[0] = 0, depth[root] = 1;
int hh = 0, tt = 0;
q[0] = root;
while (hh <= tt)
{
int t = q[hh ++ ];
for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (depth[j] > depth[t] + 1)
{
depth[j] = depth[t] + 1;
q[ ++ tt] = j;
fa[j][0] = t;
for (int k = 1; k <= 15; k ++ )
fa[j][k] = fa[fa[j][k - 1]][k - 1];
}
}
}
}
int lca(int a, int b)
{
if (depth[a] < depth[b]) swap(a, b);
for (int k = 15; k >= 0; k -- )
if (depth[fa[a][k]] >= depth[b])
a = fa[a][k];
if (a == b) return a;
for (int k = 15; k >= 0; k -- )
if (fa[a][k] != fa[b][k])
{
a = fa[a][k];
b = fa[b][k];
}
return fa[a][0];
}
离线的做法也没学
还没写题呢，明天一定（
标签：04,int,depth,fa,算法,dx,LCA,root 来源： https://www.cnblogs.com/CTing/p/16586716.html
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