标签：frac double px 林士 算法 数学 partial dp dq
代数基本定理
1 代数基本定理
任何复系数一元n次多项式（n至少为1）方程在复数域上至少有一根。
n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根，重根按重数计算。
证明不会
2 虚根成对定理
在实系数多项式分解中，虚根成对分解，实根单一分解，因此对于奇数次多项式，一定有实根。
简单理解： 假设一个根为虚根 \((x-a-bi)\) ，那么必须有另一个共轭根 \((x-a+bi)\) 这样，两者相乘可以得到实系数二次多项式 \(x^2-2ax+a^2+b^2\) ,否则无法消去虚数。
而且值得注意的是任何无实根的实系数多项式 \(x^2+px+q\) 都可以分解为\(x^2-2ax+a^2+b^2\) . (解出a,b从\(q>\frac{p^2}4\)入手证明)
3 林士谔算法
目标：找到多项式的根（包括实根和虚根）。
由代数基本定理，大于二次的多项式一定存在二次三项式因式。如何在实系数多项式中找到一个根，可以考虑在实系数多项式中找到一个二次三项式的因式。
因此可以用逐次分解二次三项式的方法找到所有根。
原理
\[f(x)=(x^2+px+q)g(x) \]我们要找到一个二次三项式，直接来找是很难的，可以先试着除一个二次三项式
\[f(x) = (x^2+px+q)g(x)+rx+s \]我们想办法通过修正p和q来消去余项。
\[p_1=p+dq \]\[q_1=q+dq \]r和s由p和q决定，对r和s求偏导，得到关系如下。
\[dr=\frac{\partial r}{\partial p}dp + \frac{\partial r}{\partial q}dq \]\[ds=\frac{\partial s}{\partial p}dp+\frac{\partial s}{\partial q}dq \]将f(x)分别对p、q求偏导，得到如下：
\[0=xg(x)+\frac{\partial g(x)}{\partial p}(x^2+px+q)+\frac{\partial r}{\partial p}x + \frac{\partial s}{\partial p} \]\[0=g(x)+\frac{\partial g(x)}{\partial q}(x^2+px+q)+\frac{\partial r}{\partial q}x + \frac{\partial s}{\partial q} \]由上二个式子可以变形为
\[xg(x)=-\frac{\partial g(x)}{\partial p}(x^2+px+q)-\frac{\partial r}{\partial p}x - \frac{\partial s}{\partial p} \]\[g(x)=-\frac{\partial g(x)}{\partial q}(x^2+px+q)-\frac{\partial r}{\partial q}x - \frac{\partial s}{\partial q} \]可以看到我们要求的偏导数正是xg(x)和g(x)对二次三项式的余式。可以直接计算。
因为我们希望r和s都修正到0，令dr=-r，ds=-s,可以近似方程为
\[-r=\frac{\partial r}{\partial p}dp + \frac{\partial r}{\partial q}dq \]\[-s=\frac{\partial s}{\partial p}dp+\frac{\partial s}{\partial q}dq \]可以近似解得dp和dq。
多次近似求解可以不断逼近。
代码如下
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps = 1e-6;
double b[2333], c[2333];
void shie(double a[], int n, double &p, double &q)
{
//b = g(x) = f(x) // (x^2 + px + q)
memset(b, 0, sizeof(b));
//c = x^2 * g(x) // (x^2 + px + q) from c[] we can get xg(x) % (x^2 + px + q) and g(x) % (x^2 + px + q)
memset(c, 0, sizeof(c));
p = 0, q = 0;
double dp = 1;
double dq = 1;
while (dp > eps || dp < -eps || dq > eps || dq < -eps)
{
double p0 = p;
double q0 = q;
b[n - 2] = a[n];
b[n - 3] = a[n - 1] - p0 * b[n - 2];
c[n - 2] = b[n - 2];
c[n - 3] = b[n - 3] - p0 * b[n - 2];
for (int j = n - 4; j >= 0; --j)
{
b[j] = a[j + 2] - p0 * b[j + 1] - q0 * b[j + 2];
c[j] = b[j] - p0 * c[j + 1] - q0 * c[j + 2];
}
double r = a[1] - p0 * b[0] - q0 * b[1];
double s = a[0] - q0 * b[0];
double rp = c[1];
double sp = b[0] - q0 * c[2];
double rq = c[0];
double sq = -q0 * c[1];
dp = (rp * s - r * sp) / (rp * sq - rq * sp);
dq = (r * sq - rq * s) / (rp * sq - rq * sp);
p += dp;
q += dq;
}
}
int main()
{
double a[] = {-6, 11, -6, 1};
int n = 3;
double p, q;
shie(a, n, p, q);
cout << p << endl << q;
return 0;
}
其中计算\(x^2g(x)\)对\((x^2+px+q)\)的除法可以得到所有想要结果，非常巧妙。
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