标签：return 欧几里得 扩展 exgcd 算法 ax LL
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扩展欧几里得算法
裴蜀定理
ax + by能够凑出来的最小的值一定是a和b的最大公约数（d的一倍）。
应用：扩展欧几里得算法求系数x和y。
欧几里得算法
【代码模板】
LL gcd(LL a, LL b)
{
if(b == 0) return a;
return gcd(b, a % b);
}
扩展欧几里得算法证明与实现
设LL exgcd(a,b,x,y)是求解系数x,y的函数，返回值是gcd（a,b)，那么可以根据递归求出exacd（b,a%b,i,j)求出系数i，j
根据下面的推导得到x，y与i，j的关系：
【代码模板】
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)// 通过引用传回
{
if(b == 0)
{
x = 1, y = 0;
return a;
}
LL d = exgcd(b, a % b, y, x);// 注意：这里换一下顺序y
y -= a / b * x; // x = x1
return d;
}
【题目链接】877. 扩展欧几里得算法 - AcWing题库
【代码实现】
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1, y = 0;
return a;
}
LL d = exgcd(b, a % b, y, x);// 注意：这里换一下顺序y
y -= a / b * x; // x = x1
return d;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
while (n -- )
{
LL a, b, x, y;
scanf("%lld%lld", &a, &b);
exgcd(a, b, x, y);
printf("%lld %lld\n", x, y);
}
return 0;
}
线性同余方程
【题目链接】878. 线性同余方程 - AcWing题库
a * x ≡ b (mod m)
----> ax = my + b（y为m的整数倍）
----> ax - my = b，令y1 = -y ----> ax + my1 = b
根据拓展欧几里得定理，只要 b 是 a与m最大公约数的倍数，即b为gcd(a, m)的倍数即有解！反之无解。
若b是最大公约数的倍数，由拓展欧几里得算法可以求出一个系数
x:X1使得ax + my1 = d（d为a与m的最大公约数）在有解情况下，由于d与b存在倍数关系，我们可以将ax + my1 = d两边同时扩大
b/d倍，由于a与m都是定数，也就是说ax + my1 = b中的x也就是我们题目要求的x会在 上述拓展欧几里得算法求出一个系数x:X1的基础上乘上b/d倍。
// 即最后答案为：x=X1 * d / b % m
ax % m=b⟺ a⋅(x % m) % m=b 所以对
x % m仍是个答案
因为输出要在int范围，所以%m
【代码实现】
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a/b * x;
return d;
}
// ax % m == b -- > ax = my + b ---> ax + my1 = b
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
while (n -- )
{
LL a, b, m, x, y;
scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &m);
LL d = exgcd(a, m, x, y);
if(b % d) puts("impossible");//b 不是 d的倍数 则无解
else printf("%lld\n", LL(b/d) * x % m);
}
return 0;
}
学习内容参考：
acwing算法基础课
标签：return,欧几里得,扩展,exgcd,算法,ax,LL 来源： https://blog.csdn.net/qq_54773252/article/details/122723399
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