标签：Sort Loss frac ell sum 样本 ij 源码 mathcal

♥ 第一印象

Rank & Sort Loss for Object Detection and Instance Segmentation 这篇文章算是我读的 detection 文章里面比较难理解的，原因可能在于：创新的点跟普通的也不太一样；文章里面比较多公式。但之前也有跟这方面的工作如 AP Loss、aLRPLoss 等。它们都是为了解决一个问题：单阶段目标检测器分类和回归在训练和预测不一致的问题。那么 Rank & Sort Loss 又在以上的工作进行了什么改进呢？又解决了什么问题呢？

关于训练预测不一致的问题

简单来说，就是在分类和回归在训练的时候是分开的训练，计算 loss 并进行反向优化。但是在预测的时候却是用分类分数排序来进行 nms 后处理。这里可能导致一种情况就是分类分数很高，但是回归不好（这个问题在 FCOS 中有阐述）。

之前的工作

常见的目标检测网络一般会使用 nms 作为后处理，这时我们常常希望所有正样本的得分排在负样本前面，另外我们还希望位置预测更准确的框最后被留下来。之前的 AP Loss 和 aLRP Loss 由于需要附加的 head 来进行分类精度和位置精度综合评价（其实就是为了消除分类和回归的不一致问题，如 FCOS 的 centerness、IoU head 之类的），确实在解决类别不均衡问题（正负样本不均衡）等有着不错的效果，但是需要更多的时间和数据增强来进行训练。

Rank & Sort Loss

Rank & Sort Loss (RS Loss) 并没有增加额外的辅助 head 来进行解决训练和预测不一致的问题，仅通过 RS Loss 进行简单训练：

• 通过 Sort Loss 加上 Quality Focal Loss 的启发（避免了增加额外的 head），使用 IoU 来作为分类 label，使得可以通过连续的数值 (IoU) 来作为标签给预测框中的正样本进行排序。
• 通过 Rank Loss 使得所有正样本都能排序在负样本之前，并且只选取了较高分数的负样本进行计算，在不使用启发式的采样情况下解决了正负样本不均衡的问题。
• 不需要进行多任务的权重或系数调整。

由上图可以看出，一般的标签分配正样本之间是没有区分的，但是在 RS Loss 里面正样本全部大于负样本，然后在正样本之间也会有排序，排序的依据就是 Anchor 经过调整后跟 GT 的 IoU 值。

♠ 对基于 rank 的 loss 的回顾

由于基于排序的特性，它不是连续可微。因此，常常采用了误差驱动的方式来进行反向传播。以下来复习一下如何将误差驱动优化融进反向传播：

• Loss 的定义

  \(\mathcal{L} = \frac{1}{Z} \underset{i \in \mathcal{P}}{\sum} \ell(i)\) ，其中 \(Z\) 是用来归一化的常数，\(\mathcal{P}\) 则是所有正样本的集合，\(\ell(i)\) 是计算正样本 \(i\) 的误差项。

• Loss 的计算

  

  • Step 1. 如上图所示，误差 \(x_{ij}\) 的值为样本 \(i\) 与样本 \(j\) 的预测概率值之差。

  • Step 2. 用每一对样本的误差值 \(x_{ij}\) 来计算这对样本对样本 \(i\) 产生的 loss 值，由下述公式计算得到：

    \[L_{ij} = \begin{cases} \ell(i)p(j|i),\quad for\ i \ \in \mathcal{P},j \ \in \ \mathcal{N} \\ 0,\qquad \qquad \ otherwise, \end{cases} \]

    其中 \(p(j|i)\) 是 \(\ell(i)\) 分布的概率密度质量函数，\(\mathcal{N}\) 则是所选负样本的集合。一般借鉴了感知学习（感知机）来进行误差驱动，因此使用了阶跃函数 \(H(x)\) 。对于第 \(i\) 个样本，\(rank(i)=\underset{j \in \mathcal{P\cup N}}{\sum} H(x_{ij})\) 为该样本在所有样本的位次，\(rank^{+}(i)=\underset{j \in \mathcal{P}}{\sum} H(x_{ij})\) 为该样本在所有正样本中的位次，\(rank^{-}(i)=\underset{j \in \mathcal{N}}{\sum} H(x_{ij})\) 为该样本在较大概率分数负样本中的位次，这个位次真值应该为 0 ，否则将产生 loss （因为所有正样本需要排在所有负样本之前），对于 AP Loss 来说 \(\ell(i)\) 和 \(p(j|i)\) 可以分别表示为 \(\frac{rank^{-}(i)}{rank(i)}\) 和 \(\frac{H(x_{ij})}{rank^{-}(i)}\) 。其中可以推断出 \(L_{ij}=\frac{H(x_{ij})}{rank(i)}\) 即样本 \(j\) 对 \(i\) 产生的 loss，这里只会在其概率分数大于样本 \(i\) 时会产生 loss。

  • Step 3. 计算最终的 Loss，\(\mathcal{L}=\frac{1}{Z}\underset{i \in \mathcal{P}}{\sum} \ell(i)=\frac{1}{Z}\underset{i \in \mathcal{P}}{\sum} \underset{j \in \mathcal{N}}{\sum} L_{ij}\) 。

• Loss 的优化

  优化其实就是一个求梯度的过程，这里我们可以使用链式求导法则，然而 \(L_{ij}\) 是不可微的，因此其梯度可以使用 \(\Delta x_{ij}\) ，我们可以结合上图进行以下推导：

  \[\begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial s_i} &= \sum_{j} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L_{ij}} \Delta x_{ij} \frac{\partial x_{ij}}{\partial s_i} + \sum_{j} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L_{ji}} \Delta x_{ji} \frac{\partial x_{ji}}{\partial s_i}\\ & = -\frac{1}{Z}\sum_{j} \Delta x_{ji} + \frac{1}{Z}\sum_{j} \Delta x_{ij} \\ & = \frac{1}{Z} \Big( \sum_{j}\Delta x_{ji} - \sum_{j}\Delta x_{ij}\Big) \end{aligned} \]

  其中 \(\Delta x_{ij}\) 可以由 \(-(L^{*}_{ij} - L_{ij})\) 计算得到并进行误差驱动更新值，其中 \(L^{*}_{ij}\) 是 GT。AP Loss 和 aLRP Loss 都是通过这种方式进行优化的。

• 文章对以上的部分一些改进

  RS Loss 认为：

  • \(L^{*}_{ij}\) 不为 0 时解释性比较差（因为 \(L\) 为排序误差产生的 loss，按理来说应该没有误差是最好的，也就是 loss 为 0，那么 GT 应该为 0 才对）

  • 关于 \(L_{ij}\) 的计算来说，只有样本 \(i\) 为正样本，\(j\) 为负样本的时候才会产生非零值，其忽略了其他情况的一些误差。

  因此对 Loss Function 进行了重定义为：

  \[\mathcal{L}=\frac{1}{Z}\underset{i \in \mathcal{P \cup N}}{\sum} (\ell(i) - \ell^{*}(i)) \]

  其中 \(\ell^{*}(i)\) 是期望的误差，这里其实考虑了 \(i\) 属于正负样本的不同情况，另外直接使用与期望的误差之间差值作为 loss 的值，使得目标 loss 只能向着 0 优化，解决了上述两个问题。

  关于 Loss 的计算则改为：

  \[\mathcal{L}=\frac{1}{Z}\underset{i \in \mathcal{P \cup N}}{\sum} (\ell(i) - \ell^{*}(i))p(j|i) \]

  最后的 Loss 的优化，由于我们的最终 loss 目标是 0，所以 \(\Delta x_{ij} = -(L^{*}_{ij} - L_{ij}) = L_{ij}\) ，最终优化可以简化为：

  \[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial s_i} = \frac{1}{Z} \Big( \sum_{j}L_{ji} - \sum_{j}L_{ij} \Big) \]

♦ Rank & Sort Loss

Loss 的定义

\[\mathcal{L}_{RS}=\frac{1}{|\mathcal{P}|}\underset{i \in \mathcal{P}}{\sum} (\ell_{RS}(i) - \ell_{RS}^{*}(i)) \]

其中 \(\ell(i)_{RS}\) 是当前 rank error 和 sort error 的累积起来的和，其可以用下式表示

\[\ell_{RS}(i) = \frac{rank^{-}(i)}{rank(i)} + \frac{\underset{j \in \mathcal{P}}{\sum} H(x_{ij})(1 - y_j)}{rank^{+}(i)} \]

前一项为 rank error，后一项为 sort error，后一项对分数大于 \(i\) 的样本乘以了一个 \(1-y\) 的权重，这里的 \(y\) 是分数标签（即该样本与 GT 的 IoU 值）。这里其实使得那些分数比样本 \(i\) 大，但是分数的标签又不是特别大（回归质量不是特别好）的样本进行了惩罚使其产生较大的 error。对于误差的标签，首先 rank error 我们希望所有正样本都排在负样本之前，而这时 rank error 为 0，而对于 sort error 我们则希望只有标签分数大于样本 \(i\) 的预测分数可以比它大，从而产生 error，此时产生期望的误差（也就是回归比 \(i\) 好的样本，我们是可以容忍分数比它高的），这部分样本由于有期望的误差，在计算 loss 时会产生更小的 loss。那些分数的标签不行，但预测分数又比较大的会产生更大的 loss:

\[\ell^{*}_{RS}(i) = 0 + \frac{\underset{j \in \mathcal{P}}{\sum} H(x_{ij})[y_j\ge y_i](1 - y_j)}{H(x_{ij})[y_j\ge y_i]} \]

同时论文还将 \(H(x_{ij})\) 平滑进入区间 \([-\delta_{RS},\delta_{RS}]\) 中，其中 \(x_{ij} = x_{ij}/2\delta_{RS} + 0.5\) 。

Loss 的计算

关于 loss 的计算同上面也是进行三部曲，最后得到:

\[L_{ij}=\begin{cases} (\ell_{R}(i) - \ell_{R}^{*}(i))p_{R}(j|i),\quad for\ i \in \mathcal{P},j\ \in \mathcal{N} \\ (\ell_{S}(i) - \ell_{S}^{*}(i))p_{S}(j|i),\quad for\ i \in \mathcal{P},j\ \in \mathcal{P} \\ 0, \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \ ohterwise \end{cases} \]

其中

\[\begin{aligned} p_{R}(j|i)&=\frac{H(x_{ij})}{\underset{k \in \mathcal{N}}{\sum} H(x_{ik})} =\frac{H(x_{ij})}{rank^{-}(i)} \\ p_{S}(j|i)&=\frac{H(x_{ij})[y_j < y_i]}{\underset{k \in \mathcal{P}}{\sum} H(x_{ik})[y_k < y_i]} \end{aligned} \]

这里对于 rank 的概率质量函数只会统计分数大于 \(i\) 的样本，这里其实和之前没有什么区别；对于 sort 而言概率质量函数只会统计分数大于 \(i\) 且分数的标签小于 \(i\) 的样本。

以上的 loss 计算则变为：

\[L_{ij}=\begin{cases} \frac{rank^{-}(i)}{rank(i)}\frac{H(x_{ij})}{rank^{-}(i)},\quad \qquad \qquad \ \qquad \qquad \ \qquad \qquad \qquad \quad \ for\ i \in \mathcal{P},j\ \in \mathcal{N} \\ \Big(\frac{\underset{j \in \mathcal{P}}{\sum} H(x_{ij})(1 - y_j)}{rank^{+}(i)} - \frac{\underset{j \in \mathcal{P}}{\sum} H(x_{ij})[y_j\ge y_i](1 - y_j)}{H(x_{ij})[y_j\ge y_i]}\Big)\frac{H(x_{ij})[y_j < y_i]}{\underset{k \in \mathcal{P}}{\sum} H(x_{ik})[y_k < y_i]},\quad for\ i \in \mathcal{P},j\ \in \mathcal{P} \\ 0, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ ohterwise \end{cases} \]

Loss 的优化

对于 \(i \in \mathcal{N}\) 时，

根据上式中的 \(L_{ij}\) 的计算规则，实际上我们只需要计算 rank 产生的 loss 就好，因为 sort 产生的 loss 只会在正样本之间计算，而 rank 产生的 loss 需要正样本对所有负样本的计算，因此只有 \(j\ \in \mathcal{P}, i \ \in \mathcal{N}\) 符合（注意这里的顺序噢，\(i,j\) 就不行噢）：

\[\begin{aligned} \frac{\partial L_{RS}}{\partial s_i} &= \frac{1}{|\mathcal{P}|} \Big(-\underset{j \in \mathcal{P}}{\sum}L_{ij}+\underset{j \in \mathcal{P}}{\sum}L_{ji}-\underset{j \in \mathcal{N}}{\sum}L_{ij}+\underset{j \in \mathcal{N}}{\sum}L_{ji}\Big) \\ &= \frac{1}{|\mathcal{P}|}\underset{j \in \mathcal{P}}{\sum}\Big(\ell_{R}(i)-\ell^{*}_{R}(i)\Big)p_{R}(i|j) \\ &= \frac{1}{|\mathcal{P}|}\underset{j \in \mathcal{P}}{\sum}\ell_{R}(i)p_{R}(i|j) \end{aligned} \]

对于 \(i \in \mathcal{P}\) 时，

这时候只有 \(j\ \in \mathcal{N}, i \ \in \mathcal{P}\) 这种情况是不行的（因为这样就是计算每一个负样本与所有正样本的 loss 了）:

\[\begin{aligned} \frac{\partial L_{RS}}{\partial s_i} &= \frac{1}{|\mathcal{P}|} \Big(-\underset{j \in \mathcal{P}}{\sum}L_{ij}+\underset{j \in \mathcal{P}}{\sum}L_{ji}-\underset{j \in \mathcal{N}}{\sum}L_{ij}+\underset{j \in \mathcal{N}}{\sum}L_{ji}\Big) \\ &= \frac{1}{|\mathcal{P}|}\Big(-\underset{j \in \mathcal{P}}{\sum}(\ell_{S}(i) - \ell_{S}^{*}(i))p_{S}(j|i)+\underset{j \in \mathcal{P}}{\sum}(\ell_{S}(j) - \ell_{S}^{*}(j))p_{S}(i|j)-\underset{j \in \mathcal{P}}{\sum}(\ell_{R}(i) - \ell_{R}^{*}(i))p_{R}(j|i)+0\Big) \\ &= \frac{1}{|\mathcal{P}|}\Big(-(\ell_{S}(i) - \ell_{S}^{*}(i))\underset{j \in \mathcal{P}}{\sum}p_{S}(j|i)+\underset{j \in \mathcal{P}}{\sum}(\ell_{S}(j) - \ell_{S}^{*}(j))p_{S}(i|j)-(\ell_{R}(i) - \ell_{R}^{*}(i))\underset{j \in \mathcal{P}}{\sum}p_{R}(j|i)+0\Big) \\ &=\frac{1}{|\mathcal{P}|}\Big(-(\ell_{S}(i) - \ell_{S}^{*}(i))+\underset{j \in \mathcal{P}}{\sum}(\ell_{S}(j) - \ell_{S}^{*}(j))p_{S}(i|j)-(\ell_{R}(i) - \ell_{R}^{*}(i))+0\Big) \\ &=\frac{1}{|\mathcal{P}|}\Big((\ell_{RS}^{*}(i) - \ell_{RS}(i))+\underset{j \in \mathcal{P}}{\sum} \big(\ell(i)_{S} - \ell_{S}^{*}(i)\big)p_{S}(i|j)\Big) \end{aligned} \]

需要记住的是，rank 中的 loss \(L_{kl}\) 其中必须满足 \(k \in \mathcal{P},l\ \in \mathcal{N}\) ，sort 中的 loss \(L_{kl}\) 其中必须满足 \(k \in \mathcal{P},l\ \in \mathcal{P}\) 其余情况均为 0，因此一对样本要么产生 rank loss（一正样本一负），要么产生 sort （两正）

关于多任务的权重，使用下述方法避免了人工设置权重：

\[\mathcal{L}_{RS-model} = \mathcal{L}_{RS} + \lambda_{box}\mathcal{L}_{box} \]

其中 \(\lambda_{box} = \left|\mathcal{L}_{RS}/\mathcal{L}_{box} \right|\)

算法的表现

RS Loss 解决训练预测不一致以及类别不均衡等问题，思路还是挺新颖的，而且具有较好的表现。

• 单阶段网络的性能

  

• 两阶段网络的性能

  

可以看到还是在下游任务上还是又不小的提升的，只得大家借鉴其思路，创新自己的工作。

♣ 核心源码解读

元旦快乐明年见

标签：Sort,Loss,frac,ell,sum,样本,ij,源码,mathcal
来源： https://www.cnblogs.com/froml77/p/15754665.html

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