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算法设计与分析基础(三)

2021-12-11 14:32:59  阅读:135  来源: 互联网

标签:分析 return 递归 次数 算法 基本操作 设计 2n


算法设计与分析基础(三)

练习题

  1. 根据下列函数的增长次数按照从低到高的顺序对他们进行排序。
    请添加图片描述
    解答:
    请添加图片描述

  2. 请添加图片描述
    解答:
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    即,该多项式的始终值为ak*n^k,则结论成立。

  3. 考虑下面的算法:

    算法Mystery(m)
    //输入:非负整数n
    S←0
    for i←1 to n do
        S←S+i* i
    return S
    

    a.该算法求的是什么?

    求的是1到n的平方和
    在这里插入图片描述
    b.它的基本操作是什么?
    基本操作是:乘法 (或者,假定乘法和加法的时间相同,两者中的任何一个)
    c.该基本操作执行了多少次?
    n次

    d.该算法的效率类型是什么?

    在这里插入图片描述
    e.试对该算法进行改进,若不行证明。

    ​ 使用公式:
    在这里插入图片描述
    直接求出结果

  4. 考虑下列递归算法,该算法用来计算前n个立方和:
    在这里插入图片描述

    算法S(n)
    //输入:正整数n
    //输出:前n个立方的和
    if n= 1 return 1
    else return S(n - 1)+n*n*n 
    

    a. 建立该算法的基本操作执行次数的递推关系并求解。

    ​ 我们可以通过反向替代来解决:

    请添加图片描述

    b.如果这个算法和直接了当的非递归算法比较,你做何评价?

    非递归的代码是:

    // 输入:一个正整数n
    // 输出: 前n个立方的和
    S←1
    fori←2 to n do
        S←S+i*i*i
    return s
    

    这种算法的乘法次数是:
    在这里插入图片描述
    这与递归操作的基本操作数相同,但非递归版本不携带与递归堆栈相关的时间和空间开销。

  5. a.请基于公式2n=2n-1+2n-1设计一个递归算法。当n是任意非负整数时,该算法能够计算2n的值。

    算法 Power(n)
    // 通过公式递归计算
    // 输入: 非负整数n
    // 输出:2^n的值
    if  n = 0  return 1
    else return Power(n-1)+Power(n-1)
    

    b.建立该算法所做的加法运算次数的递推关系并求解。

在这里插入图片描述
c.为该算法构造一棵递归调用树,然后计算它所做的递归调用的次数。

在这里插入图片描述
由图知,一共调用了n次。

d.对于该问题的求解来说,这是一个好方法吗?

这是一个非常糟糕的算法,因为它远不如简单地将累加器乘以2n倍,更不用说我们后来学到的更有效的算法了。

标签:分析,return,递归,次数,算法,基本操作,设计,2n
来源: https://blog.csdn.net/weixin_51276056/article/details/121872705

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