标签：子串 manacher 对称点 笔记 算法 端点 mx 回文
前言
$manacher$算法，这个被$OIer$戏称为马拉车的算法，作为字符串入门算法，非常值得$OIer$学习，并且学会其核心思想--不断利用之前以求的值来更新之后待求的值。掌握好它，我们就可以开启$OI$字符串算法的大门。
一、manacher算法的目的（解决神马问题）
$manacher$算法是用于求最长回文子串长度的算法。
什么回文串？顾名思义，回文串就是一个字符串顺序读和倒序读都一样。
举个栗子：$aba$ $aaaaaa$ $IOI$
二、manacher算法的基本思路
首先，我们来看到问题：给定一个字符串，求其最长回文子串长度。
$1$.我们来看一看最暴力的解法：枚举所有子串，再分别判断该串是否是回文串。时间复杂度$O(n^3)$。暴力不愧是暴力，这时间复杂度直接上天
$2$.既然暴力不行，那我们稍微优化一下。我们可以枚举每一个点作为对称点（就是该回文子串的对称中心），再暴力扫描求出最长回文子串长度。时间复杂度$O(n^2)$。
$3$.改进后还是有点慢，我们可不可以再快一点？这是，我们今天的主角--manacher算法就闪亮登场了。
我们可以沿着$2$的思路，枚举对称点，并令$p[i]$为该对称点所能延伸的最长回文半径（从对称点到该回文子串的左端点或右端点（包含端点和对称点））。
这时，我们遇到了第一个问题--如果是偶回文串，那我们该怎么办？
我们可以在所有字符之间插入一个无关字符,让偶串变成奇串。
举个栗子：aba->@#a#b#a#! (前后两个端点插入不同符号防越界)
abba->@#a#b#b#a#!
这样，我们就可以愉快的枚举对称点了。
之后，我们可以得到一个显然才怪的结论--回文串长度==$p[i]-1$。
为了防止我们看的云里雾里，还是补充一个解释比较好：
以abba为例，处理后变成@#a#b#b#a#! 那么最中间的#号的$p[i]$值为$5$，$5-1=4$，从数值上看，它们是相等的。
那有没有什么证明呢？当然要有，不然怎么用这个算法。
新串相当于在原串的基础上$\times 2+1$，我们取它的回文半径就可以抵消掉$\times 2$的效果，再$-1$就可以得到真正的回文串长度。
说了这么多，提升效率的呢？
我们定义$mx$表示当前找到的最长回文子串的最右端点的下标，$id$表示$mx$的对称中心。用$i$表示当前要匹配的节点。
1.当$i<mx$时
利用回文串的性质，我们可以得到$i$关于$id$对称的点$j=(id<<1)-i$。
（1）当$p[j]<j$到$id$左端点的距离，如下图
显然，$p[i]=p[j]$，且$p[i]$不可以再向两边扩展。
（2）当$p[j]==j$到$id$左端点的距离，如下图
显然，$p[i]=p[j]$，且$p[i]$可以再向两边扩展。
（3）当$p[j]>j$到$id$左端点的距离，如下图
此时$p[i]=mx-i$，且$p[i]$不可以再向两边扩展。
因为如果可以扩展，则$cd$，又因为$ab$且$bc$，所以$ad$，那么$mx$就可以再拓展一位，产生矛盾，舍去。
2.当$i>mx$时
直接$p[i]=1$，之后再判断是否可以拓展。（因为之前推出的$p[i]$值无法更新当前要求的值）
好了，直接上核心代码
for(R int i=1;i<len;++i) {//len是新数组长度
if(i<mx) p[i]=min(p[(id<<1)-i],mx-i);//同1
else p[i]=1;//同2
while(str[i+p[i]]==str[i-p[i]]) ++p[i];//判断是否可以再向两边拓展
if(p[i]+i>mx) {mx=i+p[i];id=i;}//更新
ans=max(ans,p[i]-1);//更新答案
}
参考资料：
老规矩，练手题
2.求前$k$长的所有回文子串长度的乘积(题解)(我的代码)
标签：子串,manacher,对称点,笔记,算法,端点,mx,回文 来源： https://www.cnblogs.com/wujianxiang/p/15103686.html
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