标签：10 java 数字 状态 -- 位置 int Windy 题目

什么是数位DP

数位 DP 问题往往都是这样的题型，给定一个闭区间 [L,R]，让你求这个区间中满足 某种条件 的数的总数。

(来自 OI-WIKI )

按照一般的方法,我们会遍历区间[L,R],对每个数字进行判断,是否符合题目要求.

但是这类题目的区间范围往往都比较大,单纯地遍历每一个数字,会超时.

这种情况下,使用数位DP的方式,进行求解.

下面根据

进行具体分析

这类算法,基本都是套模板.所以也按照这道题目,将模板写出来.

题目背景

windy 定义了一种 windy 数。

题目描述

不含前导零且相邻两个数字之差至少为 2 的正整数被称为 windy 数。windy 想知道，在 a 和 b 之间，包括 a 和 b ，总共有多少个 windy 数？

输入格式

输入只有一行两个整数，分别表示 a 和 b。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

对于全部的测试点，保证

\[1 \leq a \leq b \leq 2 \cdot 10^9 \]

总体思路

1.问题转化

对于区间中的问题,我们将它简化成只有一个边界的问题.类似于计算区间和.

对于在区间[L,R]上,计算满足某项条件的数字的个数result.

假设我们有函数F(x),表示在[0,x]区间上,满足条件的数字的个数.

那么result = F(R)-F(L-1);

2.具体求出F(x)

对于给定的输入M,在区间范围[0,M]中,我们按照每一位数字进行枚举(区别于遍历每一个数字),记录所有的情况---相邻数字的差至少为2.将结果记录到数组 A[]中.

• 如何描述一类数字的状态:

  我们使用当前枚举的数字的i位,当前位的前一位具体是数字j来来记录此种情况下的满足题目条件的情况有多少种.

  A[i][j] = result;

  举例:

  A[3][4] 记录的是当前位置在第三位,并且前一位(第二位)数字是4的情况.

• 如何写转移方程

  考虑一般情况.

  举例:

  对于数字(范围)12345.

  \[A[3][1] = \sum_{i=0}^{9}A[4][i]\\ 当且仅当 |i-前一位的数字| \leq 2 的时候 \]

  表示当前位置是第三位,前一个位置是1的数,能够组成满足题目要求的情况的总和

  等于

  当前位置是第四位,前一个位置是0~9,能够组成满足题目要求的情况的总和.

  另外,对于记录状态的重复使用:

  对于11???,可以使用数组A[2][1]表示.

  对于10???,可以使用数组A[2][1]表示.

  它们都表示当前位置在第二位,前面一位是1的状态.所以只要计算过一次后,后面再次到这个状态,就能够直接使用了.

• 特殊情况

  1. 对于前面数字位已经在边界的数字,需要单独计算,不能够使用之前表示的状态.

     仍旧以12345举例.

     对于状态A[3][2],表示当前位置是3,前面位置的状态是2的情况,

     表示的数字是12???.

     (10???,11??? 因为第二为取得了0或者1,所以后面的数字仍旧能够取0~9,所以不算边界)

     这种情况下,就不能使用跟之前类似的公式:

     \[A[3][1] = \sum_{i=0}^{9}A[4][i]\\ 当且仅当 |i-前一位的数字| \leq 2 的时候 \]

     因为第三位只能够取0~3三位, 如果取4~9,最终的数字会超出范围.

     所以,这部分单独处理.

     因为只有前面全部都取到了数字的边界,才会出现这种情况,所以增加对于状态的记录,记作limit

  2. 引入"前导零"状态,表示当前位置之前的所有数字全部是零.

     因为我们在枚举数字每一位的时候,会碰到例如这样的情况:

     00123.实际上代表数字123.但是我们不能因为第二位和第三位之间相差一,就否定这种情况.

     所以增加 "前导零" 状态, 记作lead .表示当前位置之前的所有位置,全部都是0.这种状态下,当前位置的数字可以没有顾及地从0取值到9.

  具体代码

  可以再对照着注释部分,理解代码.

  import java.io.BufferedReader;
  import java.io.InputStreamReader;
  import java.util.Arrays;
  import java.util.StringTokenizer;
  
  public class Main {
      static long[][] dp;
      static int[] positionNum;
      public static void main(String[] args) throws Exception {
          BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
          StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
          int a = Integer.parseInt(st.nextToken());
          int b = Integer.parseInt(st.nextToken());
          int aa = Math.min(a,b);
          int bb = Math.max(a,b);
          //因为问的是闭区间,所以对于[L,R],需要的结果是F(R)和F(L-1).
          long aResult = getCnt(aa-1);
          long bResult = getCnt(bb);
          System.out.println(bResult-aResult);
      }
  
      private static long getCnt(int num){
          positionNum = new int[11];//这里记录数字地每一位,到数组positionNum中
          int index = 0;
          while (num>0){
              positionNum[index++] = num%10;
              num /= 10;
          }
          //因为给定数字的范围最大不超过2亿,所以数字位数不超过9位,这里第一维度使用了11
          //因为第二维代表数字的取值范围,所以最多就是0~9,一共10位.
          dp = new long[11][10];
          //将dp数组初始化为-1.因为后续需要记忆化搜索,通过初始化的-1,来表示,某个状态没有被记录到
          for(int i = 0;i<dp.length;i++){
              Arrays.fill(dp[i],-1);
          }
          return dfs(index-1,0,true,true);
      }
  	//通过dfs,进行动态规划过程.
      //position:当前数字是第几位,对应于A[i][j]中的i
      //preNum:当前位置的前一位是哪个数字,对应于A[i][j]中的j
      //isLimit:当前位置之前的所有数字位置,是否填入了它们能够达到的最大值
      //lead:前导零.当前位置之前所有位置,是否都为零.
      private static long dfs(int position, int preNum, boolean isLimit,boolean lead) {
          //如果搜索到了-1,说明每一位都被搜索到了,dfs可以在这里结束.
          if(position < 0){
              return 1;
          }
          //用于记录结果
          long result = 0;
          //记忆化的步骤.
          //1.如果前面位置填写的数字,没有达到最大值
          //2.dp[position][preNum]这个状态之前有过记录
          //3.前面数字全部都不是零
          //这种状态说明之前dfs时,已经计算过,这里直接使用.
          if(!isLimit && dp[position][preNum]!=-1 && !lead){
              return dp[position][preNum];
          }
          //如果position位置之前的所有数字都为它们位置的最大值,
          //那么当前位置最大只能够是读取的数字的当前位置的值
          //否则,这一位能够填写0~9,因为这种情况下不管怎么填写,数字都不会超过给定范围.
          int maxNum = isLimit?positionNum[position]:9;
          int abs;
          for(int i = 0;i<=maxNum;i++){
              abs = Math.abs(i-preNum);
              //条件:相邻两个数字之间的差值必须不小于2,并且是没有前导零的情况
              //如果有前导零,那么就不需要这个条件.
              if(abs<2 && !lead){
                  continue;
              }
              //下面进行的都是下一位的dfs.分类了不同情况,不同情况下,dfs的第三第四个参数不同
              //当前位置填写了最大的数字,并且前面的数字也填写成为了当前位置最大的数字
              if(i == maxNum && isLimit){
                  result += dfs(position-1,i,true,false);
              }
              //当前位置取值不是0或者没有前导零
              //1.如果没有前导零,无论当前位取值如何,该状态表示的数字都不会是当前位置之前全部是零的情况
              //2.如果当前位置取值非零,那么之后一定不是前导零的状态了
              else if(i != 0 || !lead){
                  result+= dfs(position-1,i,false,false);
              }
              //和上面的状态相反,这里就表示了,是前导零的状态.
              else{
                  result += dfs(position-1,i,false,true);
              }
          }
          //这里针对一般的情况,进行了结果记录,以便后续使用
          //一般情况的条件:
          //1.各个位置不是最大取值
          //2.不包含前导零状态
          if(!isLimit && !lead){
              dp[position][preNum] = result;
          }
          return result;
      }
  }
  
  

标签：10,java,数字,状态,--,位置,int,Windy,题目
来源： https://www.cnblogs.com/reclusiveone/p/15084921.html

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