标签：3233 公钥 私钥 推导 crypto RSA 算法 计算 mod
说明：本文使用的数据来自网络，重复的太多了，也不知道哪篇是原创.
算法原理介绍
| step | 说明 | 描述 | 备注 |
|---|---|---|---|
| 1 | 找出质数 | P 、Q | - |
| 2 | 计算公共模数 | N = P * Q | - |
| 3 | 欧拉函数 | φ(N) = (P-1)(Q-1) | - |
| 4 | 计算公钥E | 1 < E < φ(N) | E的取值必须是整数 E 和 φ(N) 必须是互质数 |
| 5 | 计算私钥D | E * D % φ(N) = 1 | - |
| 6 | 加密 | C ＝ ME mod N | C：密文 M：明文 |
| 7 | 解密 | M ＝CD mod N | C：密文 M：明文 |
| step | decription | equation | note |
|---|---|---|---|
| 1 | Find the prime pairs | P 、Q | - |
| 2 | Calculate the common module | N = P * Q | - |
| 3 | euler function | φ(N) = (P-1)(Q-1) | - |
| 4 | Calculate the public key - E | 1 < E < φ(N) | E must be an integer E and φ(N) are prime numbers |
| 5 | Calculate the private key - D | E * D % φ(N) = 1 | - |
| 6 | encryption | C ＝ ME mod N | C：ciphertext ,M：plaintext |
| 7 | decryption | M ＝CD mod N | C：ciphertext ,M：plaintext |
算法举例
- 随机选择两个不相等的质数 : p=61、q=53
- 计算 n = p × q = 61×53 = 3233
- 计算n的欧拉函数 : φ(n) = (p-1)(q-1) = 3120
- 随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质, 我们选择一个 e=17
- 计算e对于φ(n)的模反元素d ： d*e%φ(n)=1
支持 n e d都算出来了，n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（3233, 2753）
公钥能否推导出私钥，也就是n和e的情况下，推导出d
- （1）ed%φ(n)=1, 推导d, 需要知道e和φ(n)
- （2）φ(n)=(p-1)(q-1)。计算φ(n), 需要知道p和q
- （3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q.
私钥能否推导出公钥，也就是n和d的情况下，推导出e
- （1）ed%φ(n)=1, 推导e, 需要知道d和φ(n)
- （2）φ(n)=(p-1)(q-1)。计算φ(n), 需要知道p和q
- （3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q.
对于3233您可以进行因数分解（3233=61×53），那么对于下面一个这样很大的数字呢？
12301866845301177551304949
58384962720772853569595334
79219732245215172640050726
36575187452021997864693899
56474942774063845925192557
32630345373154826850791702
61221429134616704292143116
02221240479274737794080665
351419597459856902143413
它等价于：
33478071698956898786044169
84821269081770479498371376
85689124313889828837938780
02287614711652531743087737
814467999489
×
36746043666799590428244633
79962795263227915816434308
76426760322838157396665112
79233373417143396810270092
798736308917
公钥(e,n)对明文m进行加密 ： c = m^e % n
私钥(d,n)对密文c进行解密 ： m = c^d % n
其中e和d是对等的，一样的地位，可以互换的. 所以，公钥推出私钥比较困难，那么私钥推出公钥也是比较困难.
另外，在密码学中，我们一般不说通过公钥并不是完全不能推算出私钥， 而是表述为：通过公钥推算私钥在计算上是困难的。
那么为什么我们在平时使用时，感觉的是公钥不能推导私钥，但私钥可以推导公钥呢？
因为在PEM或DER的编码格式中，公钥包含了N和E，私钥包含了N E D P Q等信息，也就是私钥已经包含了公钥，故私钥是能推出公钥的。
另外在通常使用中，e一般就等于65535，所以无需推导.
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