标签：P5663 洛谷 int 偶数 vis 阶段 零件 J2019 dis
很遗憾2019年没学图论。
否侧这题至少能拿60分。
我谔谔。
首先，一个很容易发现的想法是，设 \(vis_{u,s}\) 表示 \(u\) 号工人是否需要生产一个 \(s\) 阶段的零件，那么一个高达 60 分的程序一下就出来了：
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int n, m, q, ver[100001], head[1000001], tot, nxt[1000001],vis[1005][1005];
void add(int u, int v)
{
ver[++tot]=v; nxt[tot]=head[u]; head[u]=tot;
}
void dfs(int u, int s)
{
if(s==-1 || vis[u][s]) return ;
//如果 s 为 -1 或 u 已经需要生产一个 s 阶段的零件，直接返回
vis[u][s]=1;
//否则 u 工人需要生产一个 s 阶段的零件
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int y=ver[i];
dfs(y,s-1); //与之相连的工人都需要生产一个 s-1 阶段的零件
}
}
int main()
{
std::cin>>n>>m>>q;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u, v;
std::cin>>u>>v;
add(u, v);
add(v, u);
}
while(q--)
{
int a, L;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
std::cin>>a>>L;
dfs(a, L);
if(vis[1][0]) printf("Yes\n");
//如果1号工人需要生产一个0阶段的零件就输出Yes
else printf("No\n");
//否则输出No
}
return 0;
}
接下来考虑正解。注意到一个性质：如果某两个点存在一条传送带，那么这两个点可以互相要零件。把这个性质推广一下：如果1号和另一个工人有一个传送带，那么她们可以互相要零件。
例如下图，2号要生产一个30阶段的零件，那么她就需要向1号要一个29阶段的零件：
现在，1号要生产一个29阶段的零件，那么她就要向2号要一个28号的零件！
现在，2号要生产一个28阶段的零件，那么她就要向1号要一个27号的零件；1号要生产一个27阶段的零件，那么她就要像2号要一个26阶段的零件......以此类推。
那么我们现在把这个性质稍微抽象一下，也就是说，我们判断1号是否需要向 \(a\) 提供0阶段的零件，只需要看1号是否需要向与之相连的某一号提供0阶段的零件即可！（废话）
接着我们发现：1号点需要向与之相邻（有边）的某一点提供0阶段的零件，当且仅当与之相邻的那一点需要生产一个奇数的零件。
很容易证明其正确性：如果与1号相邻的某一点要生产一个奇数阶段的零件，那么她就必须向1号要一个偶数阶段的零件。而0恰好是一个偶数！
而之所以要大于等于是因为，如果小于，那么就没1号啥事了，在到达一号之前就被别的零件垄断了！
然后我们仔细思考易得：
- 如果1一定要向 \(a\) 提供一个0阶段的零件，而 \(a\) 需要一个偶数阶段的零件，那么 1~a 的路径中一定存在一条长度为偶数且大于等于这个阶段零件的大小；
- 如果1一定要向 \(a\) 提供一个0阶段的零件，而 \(a\) 需要一个奇数阶段的零件，那么 1~a 的路径中一定存在一条长度为奇数且大于等于这个阶段零件的大小。
以第一种情况为例解释一下：如果 \(a\) 需要一个偶数阶段的零件，那么只有当某条路径的长度（默认一条边的长度为1）为偶数时，与1号相连的某一点需要生产的零件才为奇数，1号点才要提供一个0阶段的零件！
第二种情况同理。
那么我们是不是真的需要去暴力找边呢？其实不需要。
因为如果有一条最短的路径满足条件，那么与其性质相同的必然也成立（所谓性质相同就是上面提到的两点，因为满足条件的很可能不止一种路径，这时候只要找最短的那条即可！）！
此时，我们就只需要设 \(dis_{u,1}\) 和 \(dis_{u,0}\) 分别表示 1~u 的奇数最短路径和偶数最短路径，然后跑一遍 SPFA ，求出这个最短路，然后判断是否满足即可。一些细节见代码：
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <queue>
using namespace std;
int n, m, q, tot, head[1000001], nxt[1000001], ver[1000001];
int dis[100001][3], vis[1000010][3];
void add(int u, int v)
{
ver[++tot]=v; nxt[tot]=head[u]; head[u]=tot;
}
void spfa()
{
queue<int> q, p;
//q队列表示点
//p队列表示奇数或偶数
for(int i=1;i<=n;i++) dis[i][1]=dis[i][0]=233333333;
//一开始全部搞成无穷大
dis[1][0]=0;
//第一个点本身就是偶数，所以偶数最短路径为0
//奇数最短路径显然不存在
q.push(1);
p.push(0); //一开始push 1 也是可以的
while(!q.empty()&&!p.empty())
//必须要两个队列均不为空
{
int u=q.front(); q.pop();
int s=p.front(); p.pop();
vis[u][s]=0;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int y=ver[i];
if(dis[y][0]>dis[u][1]+1)
{
dis[y][0]=dis[u][1]+1;
//偶数边可以通过奇数边+1得到
if(!vis[y][0])
{
vis[y][0]=1;
q.push(y);
p.push(0);
}
}
//处理偶数最短路
if(dis[y][1]>dis[u][0]+1)
{
dis[y][1]=dis[u][0]+1;
//奇数边可以通过偶数边+1得到
if(!vis[y][1])
{
vis[y][1]=1;
q.push(y);
p.push(1);
}
}
//处理奇数最短路
}
}
}
int main()
{
cin>>n>>m>>q;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u,v;
cin>>u>>v;
add(u,v);
add(v,u);
//无向图，需要反向建边
}
spfa();
if(head[1]==0) dis[1][0]=233333333;
//如果1号是孤立点那就也没有路径
while(q--)
{
int a,L;
cin>>a>>L;
if(L>=dis[a][L%2]) printf("Yes\n");
//这里用到了一个技巧判断是需要奇数最短路还是偶数最短路，即
//偶数%2为0，奇数%2为1，所以我们的dis数组才那样表示
else printf("No\n");
}
return 0;
}
标签：P5663,洛谷,int,偶数,vis,阶段,零件,J2019,dis 来源： https://www.cnblogs.com/BlueInRed/p/12617517.html
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