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原文出处：拓端数据部落公众号

今年的收益是否真的与典型年份的预期不同？差异实际上与典型年份的预期不同吗？这些都是容易回答的问题。我们可以使用均值相等或方差相等的测试。
但是下面这个问题呢。 

今年的收益概况与一般年份的预期情况是否不同？

这是一个更加普遍和重要的问题，因为它包括所有的时刻和尾部行为。而且它的答案也不那么简单。

我在想一定有一种方法可以检验收益密度之间的差异，而不仅仅是量化、可视化和用眼睛看。确实有这样的方法。这篇文章的目的是展示如何正式检验密度之间的平等。

事实上，至少有两种方法可以检验两个密度或两个分布之间的平等。第一种是比较经典的。这种检验被称为Kolmogorov-Smirnov检验。另一种是比较现代的，使用Permutation Test置换检验（需要模拟）。我们展示这两种方法。让我们先拉出一些价格数据。

1.    
2.   end<- format(Sy.D, "%Y-%m-%d")
3.   l = lenh
4.   da0 <- lay
5.   Time <- index
6.   ret <- as.numeric/as.numeric -1
7.   tail(rt)
8.   # 得到直到2018年的指数。
9.   # 我们随后将2018年与其他年份进行比较
10.   tid<- which(index)
11.    

1.   # 每日收益的平均值和SD（2018年除外）
2.    
3.   > mean(100*rt[1:pd])

> SD(100*retd[1:tid])

1.   > # 2008年（到目前为止）每日回报的平均值和SD值
2.    
3.   > mean(100*rtd[-c(1:tpd)])

> SD(100*red[-c(1:mid)])

我们可以看到，2018 年每日收益的均值和标准差与其余的均值和标准差略有不同。这是估计密度的样子：

Kolmogorov-Smirnov 检验

 我们可以做的是计算每个密度的累积分布函数。2018年的那个和不包括2018年的那个。说分布是针对2018年的，分布是针对其他的。我们计算每个X的差异。我们知道这些（绝对）差异的最大值是如何分布的，所以我们可以用这个最大值作为测试统计量，如果它在尾部的分布太远，我们就认为这两个分布是不同的。从形式上看。

  

  介于 0 和 1 之间（通过构造，因为我们减去两个概率并取绝对值）。  是一个 Brownian bridge. （最大）差异具有已知分布。这是一个极限分布，所以我们需要大量的观测值 n 才能对这个检验有信心。

Kolmogorov-Smirnov 测试 - R 代码

让我们将 2018 年的每日收益与其余收益进行比较，看看基于 Kolmogorov-Smirnov 检验的分布是否相同：

1.   # Kolmogorov-Smirnov测试 ####
2.   ks.test
3.    

我们看到，最大值是0.067，根据极限分布，P值是0.3891。所以没有证据表明2018年的分布与其他的分布有任何不同。

让我们来看看置换检验。主要原因是，鉴于Kolmogorov-Smirnov 检验是基于极限分布的，为了使其有效，我们需要大量的观察结果。但是现在我们不必像过去那样依赖渐进法，因为我们可以使用计算机。

两个密度相等的置换检验Permutation Test

直观地说，如果密度完全相同，我们可以把它们放在一起，从 "捆绑数据 "中取样。在我们的例子中，因为我们把收益率聚集在一个向量中，对向量进行排列意味着2018年的每日收益率现在分散在向量中，所以像上面的方程那样取一个差值，就像从一个无效假设中进行模拟：2018年每日收益率的分布与其他的完全相同。现在，对于每个x，我们将有一个在原假设下的差异。我们也有每个x的实际差异，来自我们的观察数据。我们现在可以将密度之间的实际差异（每个x）平方（或取绝对值），并将其与我们从 "数据 "生成的模拟结果进行比较。通过观察实际差异落在模拟差异的哪个四分位数，可以估计出p值。如果实际数据远远超出了原假设下的分布范围，那么我们将拒绝分布相同的假设。

密度比较置换检验 - R 代码

我们来执行刚刚描述的操作。两个参数 boot 和grid 是您想要的模拟数量以及您在计算 x 时想要使用的网格点数 . 因此 ngrid=100 。

1.    
2.   # 我们需要两组的索引，2018年和其他的。
3.   id <- substr
4.   tmnd <- i1 == 2018
5.   sme

我们可以看到 p 值与我们使用 Kolmogorov-Smirnov 检验得到的值差别不大。这是它的样子：

等密度检验：p 值 = 0.326

---

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