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基础拓扑学讲义 1.10 道路提升引理

2021-12-13 03:32:12 阅读：333 来源： 互联网

标签：引理 1.10 circ langle widetilde rangle pi 拓扑学 gamma

记号来自《基础拓扑学》《基础拓扑学讲义》

道路提升引理

道路提升引理
- 定义
- 首先是

定义

\[\begin{aligned} \text{指数映射 }\pi:~ \R &\to S^1 \\ x &\mapsto e^{2\pi ix} \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} \R \text{上道路 }\gamma_n:~&I \to nI\\ &s\mapsto ns\\ \gamma_n(s) &= ns,0\le s\le 1 \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} \text{整数加群到基本群 }\phi:\Z &\to \pi_1(S^1, 1)\\ n&\mapsto\langle \pi \circ \gamma_n\rangle\\ \phi(n) &=\langle\pi \circ \gamma_n\rangle, n\in \Z \end{aligned} \]

首先是

要证明 $\phi$ 是同构，需要

$\phi$ 是同态
$\phi$ 是满同态
$\phi$ 是单同态

尤承业的结论是 $\pi_1(S^1, z_0)$ 是自由循环群，也即 $\pi_1(S^1, z_0) \cong \Z$

同态

\[\begin{aligned} \phi(n+m) &= \langle \pi \circ \gamma_{n+m}\rangle\\ &= \langle \pi \circ (\gamma_n\gamma_m)\rangle\\ &= \langle (\pi \circ \gamma_n)(\pi \circ \gamma_m)\rangle\\ &= \langle\pi \circ \gamma_n\rangle\langle\pi \circ \gamma_m\rangle\\ &= \phi(n)\phi(m) \end{aligned} \]

满

只需 $\forall \alpha \in \pi_1(S^1, 1), \exist x\in \Z, s.t. \phi(x)=\langle \alpha \rangle$

因此需要做的就是根据 $\alpha$ 构造出 $\phi^{-1}(\alpha)$，事实上 $\phi$ 的定义在上面已经给出

道路提升引理

若 $\sigma$ 为 $S^1$ 内以 $1$ 为起点的一条道路，则存在 $\R$ 内唯一道路 $\widetilde{\sigma}$ 以 $0$ 为起点，并满足 $\pi \circ \widetilde{\sigma}=\sigma$

\[\begin{aligned} \sigma: I &\to S^1, \sigma(0)=1\\ &\Updownarrow\\ \widetilde{\sigma} :I &\to \R, ~\widetilde{\sigma}(0)=0 \end{aligned} \]

1. 记 $U=S^1-\{1\}, V=S^1-\{-1\}$
  则 $\sigma^{-1}(S^1) = \sigma^{-1}(U\cup V) = \sigma^{-1}(U)\cup \sigma^{-1}(V)$ 构成 $I$ 开覆盖
2. 将 $I=\sigma^{-1}(S^1)$ 分割为小段闭区间 $\{I_a\}$ （Lebesgue引理），分别落在 $\sigma^{-1}(U)\cup \sigma^{-1}(V)$ 当中
3. 有: 限制在每一小段 $I_a$ 上的覆叠映射 $\pi|_{I_a}$ 同胚。将 $\widetilde{\sigma}|_{I_a} = (\pi|_{I_a})^{-1}\circ (\sigma|_{I_a})$ 拼接起来得到完整的 $\widetilde{\sigma}$
由复叠空间提升唯一性定理可知每一小段唯一性，因而 $\widetilde{\sigma}$ 唯一

$\alpha$ 的提升

利用上面引理，得到 $\alpha$ 在覆叠空间 $(\R, \pi)$ 上有且有唯一以 $0$ 为起点的提升 $\widetilde{\alpha}: I\to \R$，且由于 $\alpha(1)=1$，所以 $\widetilde{\alpha}(1)\in \Z$

\[\alpha(1)=\pi \circ \widetilde{\alpha}(1) = 1\\ \Downarrow\\ \widetilde{\alpha}(1) \in \pi^{-1}(1)\in \Z \]

取 $n'=\widetilde{\alpha}(1)$，则有 $\widetilde{\alpha}: I \to \R$ 是 $\R$ 上以 $0$ 为起点，以 $n'$ 为终点的道路

那么 $\pi \circ \gamma_{n'}\in \langle \pi \circ \widetilde{\alpha} \rangle = \langle \alpha \rangle$

$\phi(n')=\langle \pi \circ \gamma_{n'} \rangle = \langle \alpha \rangle$，这就证明了 $\phi$ 是满同态

单

设 $n\ne m\in \Z$，那么要证 $\phi(n) \ne \phi(m)$，只需 $\phi^{-1}(m)\phi(n) \ne \langle e \rangle$

记 $$\begin{aligned}
P_{(a, b)}:I&\to (b-a)I\
t &\mapsto a+(b-a)t\
a, b\in \Z
\end{aligned}$$
由 $\gamma_n$ 定义显然有 $\gamma_n^{-1}\gamma_m = P_{(n, m)}$

\[\begin{aligned} \phi^{-1}(m)\phi(n) &= \langle (\pi \circ \gamma_n)^{-1}\rangle \langle \pi \circ \gamma_m\rangle\\ &= \langle \pi \circ \gamma_n^{-1}\rangle \langle \pi \circ \gamma_m\rangle\\ &= \langle (\pi \circ \gamma_n^{-1}) (\pi \circ \gamma_m)\rangle\\ &= \langle \pi \circ (\gamma_n^{-1}\gamma_m)\rangle\\ &= \langle \pi \circ P_{(n, m)} \rangle\\ &= \langle \pi \circ \gamma_{n-m}\rangle \end{aligned} \]

即证 $\pi \circ \gamma_{n-m} \not\simeq e$

圈数（Armstrong度数）

定义 $q(\alpha) = \widetilde{\alpha}(1)-\widetilde{\alpha}(0)$

圈数似乎特指覆叠空间 $(\R, \pi)$ ，底空间为 $S^1$，这样闭路圈数必为整数

引理3（尤承业p118)

设 $a, b$ 是 $S^1$ 上基点为 $1$ 的闭路，使得 $\forall t \in I, a(t) \ne -b(t)$，则 $q(a)=q(b)$

我确实没资格学数学。

这个引理我举例子问了两个同学，他们都略一思索就给出了和书中解答相同的思路

a, b 在圆形跑道上，从同一点同时开始同向出发，最终 a，b 同时停在同一点，但 a 跑了 2 圈，b 只跑了 1 圈，怎么证他们必有一时刻处于跑道的相反位置？
“a 最终比 b 多跑了 1 圈，所以中间必有一时刻比 b 多跑 1/2 圈”

这就是跑步的连续性？从这里可以看出来时间的连续性似乎就是 $I$ 的连通性

取 $a, b$ 提升 $\widetilde{a}, \widetilde{b}$
作差 $f = \widetilde{a} - \widetilde{b}$，则 $f$ 连续，且 $f(0)=0, f(1) = \widetilde{a}(1) - \widetilde{b}(1)$

\[\begin{aligned} f(1) &= \widetilde{a}(1) - \widetilde{b}(1)\\ &= \widetilde{a}(1) - \widetilde{b}(1) - f(0)\\ &= \widetilde{a}(1) - \widetilde{b}(1) - \widetilde{a}(0) + \widetilde{b}(0)\\ &= (\widetilde{a}(1) - \widetilde{a}(0)) - (\widetilde{b}(1) - \widetilde{b}(0))\\ &= q(a) - q(b) \end{aligned} \]

于是可以反证:

若 $q(a) \ne q(b)$ 则有 $f(1)\ne 0$，由 $f$ 连续性，存在 $f(t_0) = 1/2$

\[\begin{aligned} \widetilde{a}(t_0) - \widetilde{b}(t_0) &= 1/2\\ &\Downarrow\\ \pi(\widetilde{a}(t_0) - \widetilde{b}(t_0)) &= \pi(1/2)\\ &\Downarrow\\ \frac{a(t_0)}{b(t_0)}&=-1 \end{aligned} \]

矛盾

引理4（尤承业p118)

设 $a, b$ 是 $S^1$ 上基点为 $1$ 的闭路，则 $q(a) = q(b)\Longleftrightarrow a\underset{\dot{}}{\simeq}b$

$\Longrightarrow$
取 $a, b$ 提升 $\widetilde{a}, \widetilde{b}$，使得 $\widetilde{a}(0) = \widetilde{b}(0)$
则 $\widetilde{a}(1) - \widetilde{b}(1) = (q(a) + \widetilde{a}(0)) - (q(b) + \widetilde{b}(0)) = 0$，因而 $\widetilde{a} \underset{\dot{}}{\simeq}\widetilde{b}$
复合回去 $\pi \circ \widetilde{a}$ 和 $\pi \circ \widetilde{b}$ 仍同伦，同基点闭路故定端同伦
$\Longleftarrow$

(这里书上说同伦映射 $H:a\underset{\dot{}}{\simeq}b$ 一致连续，我没太搞懂)

综上

于是可知，$\pi \circ \gamma_{n-m}$ 圈数为 $n-m\ne q(e) = 0$，因而 $\pi \circ \gamma_{n-m} \not\simeq e$

得证单同态

下次看看同伦提升定理

标签：引理,1.10,circ,langle,widetilde,rangle,pi,拓扑学,gamma
来源： https://www.cnblogs.com/human-in-human/p/15681403.html

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基础拓扑学讲义 1.10 道路提升引理

道路提升引理

定义

首先是

同态

满

道路提升引理

\(\alpha\) 的提升

单

圈数（Armstrong度数）

引理3（尤承业p118)

引理4（尤承业p118)

综上

下次看看同伦提升定理