标签：infty 常用 frac 分布 连续 left mathrm Gamma lambda
正态分布
若随机变量 \(X\) 的密度函数为
\[p(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}},-\infty<x<\infty \]则称 \(X\) 服从正态分布 , 称 \(X\) 为正态变量 , 记作 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) . 其中位置参数 \(-\infty<\mu<+\infty\) , 尺度参数 \(\sigma>0\).
正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的分布函数为
\[F(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{-\infty}^{x} \mathrm{e}^{-\frac{(t-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}} \mathrm{~d} t \]标准正态分布
称 \(\mu=0,\sigma=1\) 时的正态分布 \(N(0,1)\)为标准正态分布.
通常记标准正态变量为 \(U\) , 记标准正态分布的密度函数为 \(\varphi(u)\) , 分布函数为 \(\Phi(u)\) , 即
若随机变量 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) , 则 \(U=(X-\mu)/\sigma\sim N(0,1)\)
证明：
记 \(X\) 与 \(U\) 的分布函数分别为 \(F_{X}(x)\) 与 \(F_{U}(u)\) , 则由分布函数的定义知
\[\begin{aligned} F_{U}(u) &=P(U \leqslant u)=P\left(\frac{X-\mu}{\sigma} \leqslant u\right) \\ &=P(X \leqslant \mu+\sigma u)=F_{X}(\mu+\sigma u) \end{aligned} \]由于正态分布函数是严格单调增函数,且处处可导,因此若记 \(X\) 与 \(U\) 的密度函数分别为 \(P_{X}(x)\) 与 \(P_{U}(u)\) , 则
\[p_{U}(u)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} u} F_{X}(\mu+\sigma u)=p_{X}(\mu+\sigma u) \cdot \sigma=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-u^{2} / 2} \]由此得
\[U=\frac{X-\mu}{\sigma} N(0,1) \]由以上定理,我们马上可以得到一些在实际中有用的计算公式,若随机变量 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) , 则
\[P(X \leqslant c)=\Phi\left(\frac{c-\mu}{\sigma}\right) \]\[P(a<X \leqslant b)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right) \]正态分布的数学期望与方差
设随机变量 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) , 由于 \(U=(X-\mu)/\sigma\sim N(0,1)\) , 所以 \(U\) 的数学期望为
\[E(U)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u \mathrm{e}^{-\frac{u^{2}}{2}} \mathrm{~d} u \]注意到上述积分的被积函数为一个奇函数,所以其积分值等于 \(0\) , 即 \(E(U)= 0\)又因为 \(X=\mu+\sigma U\) , 所以由数学期望的性质得
\[E(X)=\mu+\sigma \times 0=\mu \]又因为
\[\begin{aligned} \operatorname{Var}(U) &=E\left(U^{2}\right)-[E(U)]^2=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u^{2} \mathrm{e}^{-\frac{u^{2}}{2}} \mathrm{~d} u \\ &=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u \mathrm{~d}\left(-\mathrm{e}^{-\frac{u^{2}}{2}}\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\left(-\left.u \mathrm{e}^{-\frac{u^{2}}{2}}\right|_{-\infty} ^{\infty}+\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\frac{u^{2}}{2}} \mathrm{~d} u\right) \\ &=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\frac{u^{2}}{2}} \mathrm{~d} u=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \sqrt{2 \pi}=1 \end{aligned} \]且 \(X=\mu+\sigma U\) , 所以由方差的性质得
\[\operatorname{Var}(X)=\operatorname{Var}(\mu+\sigma U)=\sigma^{2} \]均匀分布
若随机变量 \(X\) 的密度函数为
\[p(x)=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{1}{b-a}, & a<x<b, \\ 0, & \text { 其他. } \end{array}\right. \]则称 \(X\) 服从区间 \((a,b)\) 上的均匀分布 , 记作 \(X\sim U(a,b)\) , 其分布函数为
\[F(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & x<a \\ \dfrac{x-a}{b-a}, & a \leqslant x<b, \\ 1, & x \geqslant b . \end{array}\right. \]均匀分布的数学期望与方差
设随机变量 \(X\sim U(a,b)\) , 则
\[E(X)=\int_{a}^{b} \frac{x}{b-a} d x=\frac{b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}=\frac{a+b}{2} \]又因为
\[E\left(X^{2}\right)=\int_{a}^{b} \frac{x^{2}}{b-a} \mathrm{~d} x=\frac{b^{3}-a^{3}}{3(b-a)}=\frac{a^{2}+a b+b^{2}}{3} \]由此得 \(X\) 的方差为
\[\operatorname{Var}(X)=E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2}=\frac{a^{2}+a b+b^{2}}{3}-\frac{(a+b)^{2}}{4}=\frac{(b-a)^{2}}{12} \]指数分布
若随机变量 \(X\) 的密度函数为
\[p(x)=\left\{\begin{array}{cl} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}, & x \geqslant 0 \\ 0, & x<0 \end{array}\right. \]则称 \(X\) 服从指数分布 , 记作 \(X\sim Exp(\lambda)\) , 其中参数 \(\lambda>0\) , 指数分布的分布函数为
\[F(x)=\left\{\begin{array}{cl} 1-\mathrm{e}^{-\lambda x}, & x \geqslant 0 \\ 0, & x<0 \end{array}\right. \]指数分布的数学期望与方差
设随机变量 \(X\sim Exp(\lambda)\) , 则
\[\begin{aligned} E(X) &=\int_{0}^{\infty} x \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\infty} x \mathrm{~d}\left(-\mathrm{e}^{-\lambda x}\right) \\ &=-\left.x \mathrm{e}^{-\lambda x}\right|_{0} ^{\infty}+\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{~d} x=-\left.\frac{1}{\lambda} \mathrm{e}^{-\lambda x}\right|_{0} ^{\infty}=\frac{1}{\lambda} \end{aligned} \]又因为
\[\begin{aligned} E\left(X^{2}\right) &=\int_{0}^{\infty} x^{2} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\infty} x^{2} \mathrm{~d}\left(-\mathrm{e}^{-\lambda x}\right) \\ &=-\left.x^{2} \mathrm{e}^{-\lambda x}\right|_{0} ^{\infty}+2 \int_{0}^{\infty} x \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{~d} x=\frac{2}{\lambda^{2}} \end{aligned} \]由此得 \(X\) 的方差为
\[\operatorname{Var}(X)=E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2}=\frac{2}{\lambda^{2}}-\frac{1}{\lambda^{2}}=\frac{1}{\lambda^{2}} \]指数分布的无记忆性
如果随机变量 \(X\sim Exp(\lambda)\) , 则对任意 \(s>0,t>0\) , 有
\[P(X>s+t \mid X>s)=P(X>t) \]上式的含义为:记 \(X\) 是某种产品的使用寿命 \((h)\) , 若 \(X\) 服从指数分布,那么已知此产品使用了 \(s(h)\) 没发生故障,则再能使用 \(t (h)\) 而不发生故障的概率与已使用的 \(s (h)\)无关,只相当于重新开始使用 \(t ( h)\) 的概率,即对已使用过的 \(s (h)\) 没有记忆.
证明：
因为 \(X\sim Exp(\lambda)\) , 所以 \(P(X>s)=e^{-\lambda s},s>0\) . 又因为
\[(X>s+t) \subseteq(X>s) \]于是条件概率
\[P(X>s+t \mid X>s)=\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}=\frac{\mathrm{e}^{-\lambda(s+t)}}{\mathrm{e}^{-\lambda s}}=\mathrm{e}^{-\lambda t}=P(X>t) \]即证.
伽马分布
若随机变量 \(X\) 的密度函数为
\[p(x)=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-\lambda x}, & x \geqslant 0 \\ 0, & x<0 \end{array}\right. \]则称 \(X\) 服从伽马分布 , 记作 \(X\sim Ga(\alpha,\lambda)\) , 其中形状参数 \(\alpha>0\) , 尺度参数 \(\lambda>0\) .
伽马分布的数学期望与方差
\[E(X)=\frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{~d} x=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha)} \frac{1}{\lambda}=\frac{\alpha}{\lambda} \]\[E\left(X^{2}\right)=\frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{\infty} x^{\alpha+1} \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{~d} x=\frac{\Gamma(\alpha+2)}{\lambda^{2} \Gamma(\alpha)}=\frac{\alpha(\alpha+1)}{\lambda^{2}} \]\[\operatorname{Var}(X)=E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2}=\frac{\alpha(\alpha+1)}{\lambda^{2}}-\left(\frac{\alpha}{\lambda}\right)^{2}=\frac{\alpha}{\lambda^{2}} \]伽马分布的两个特例
1.\(\alpha =1\) 时的伽马分布就是指数分布, 即
\[G a(1, \lambda)=Exp(\lambda) \]2.称 \(\alpha=n/2,\lambda=1/2\) 时的伽马分布是自由度为 \(n\) 的 \(\chi^{2}\)(卡方)分布,记为 \(\chi^2(n)\) , 即
\[G a\left(\frac{n}{2}, \frac{1}{2}\right)=\chi^{2}(n) \]其密度函数为
\[p(x)=\left\{\begin{array}{cc} \dfrac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1} & x>0 \\ 0 & x \leqslant 0 \end{array}\right. \]\[E(X)=n, \quad \operatorname{Var}(X)=2 n \]贝塔分布
若随机变量 \(X\) 的密度函数为
\[p(x)=\left\{\begin{array}{cc} \dfrac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1} & 0<x<1, \\ 0 & \text { 其他 }, \end{array}\right. \]则称 \(X\) 服从贝塔分布 , 记作 \(X\sim Be(a,b)\) , 其中形状参数 \(a>0,b>0\) .
贝塔分布的数学期望与方差
\[\begin{aligned} E(X) &=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} \int_{0}^{1} x^{a}(1-x)^{b-1} \mathrm{~d} x \\ &=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} \cdot \frac{\Gamma(a+1) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b+1)}=\frac{a}{a+b} \end{aligned} \]\[\begin{aligned} E\left(X^{2}\right) &=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} \int_{0}^{1} x^{a+1}(1-x)^{b-1} \mathrm{~d} x\\ &=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} \cdot \frac{\Gamma(a+2) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b+2)} \\ &=\frac{a(a+1)}{(a+b)(a+b+1)} \end{aligned} \]\[\begin{aligned} \operatorname{Var}(X)&=\frac{a(a+1)}{(a+b)(a+b+1)}-\left(\frac{a}{a+b}\right)^{2}\\ &=\frac{a b}{(a+b)^{2}(a+b+1)} \end{aligned} \]标签：infty,常用,frac,分布,连续,left,mathrm,Gamma,lambda 来源： https://www.cnblogs.com/deer2021/p/15603699.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。