标签:Dhaka 个长 Love gcd 对称轴 10294 long 循环 pw
https://vjudge.net/problem/UVA-10294
题意:
用n颗k种颜色的珠子,分别能构成多少种项链和手镯
项链:旋转看作相同
手镯:旋转和翻转看作相同
利用Polya定理求等价类个数
旋转:
设旋转i颗珠子的间距(0<=i<n),那么(0 ,i,2i……)构成一个循环。这个循环的长度是n/gcd(i,n)。
证明:
设x经过最少p次旋转之后回到原处
即x+p*i = x (mod n)
p*i = 0 (mod n)
即 n | p*i
又因为 i | p*i,且要p最小
所以 p*i = lcm(n,i)
即 p*i=n*i/gcd(n,i) ,即p=n/gcd(n,i)
又因为每个循环长度一样,所以 循环个数有gcd(n,i)个。
由Polya定理可得,不动点个数有 ∑ k^(gcd(n,i)) i∈[0,n-1]
翻转:
要按n分奇偶讨论
n是奇数:
一共有n条对称轴,每条对称轴形成(n-1)/2个长为2的循环和1个长为1的循环,即一共(n+1)/2个循环
不动点个数有 n*k^((n+1)/2)
n是偶数:
有n/2条沿珠子的对称轴和n/2条在两颗珠子之间的对称轴
第一种对称轴形成n/2-1个长为2的循环和2个长为1的循环,共n/2+1个
第二种对称轴形成n/2个长为2的循环
不动点个数一共有 n/2 * ( k^(n/2+1) + k^(n/2) )
所以项链有∑ k^(gcd(n,i)) / n 个
手镯有 [ ∑ k^(gcd(n,i)) + n*k^((n+1)/2) ] / 2n 或者 [ ∑ k^(gcd(n,i)) + n/2 * ( k^(n/2+1) + k^(n/2) ) ] / 2n 个
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; long long pw[52]; int main() { int n,k; long long s1,s2; while(~scanf("%d%d",&n,&k)) { pw[0]=1; for(int i=1;i<=n;++i) pw[i]=pw[i-1]*k; s1=0; for(int i=0;i<n;++i) s1+=pw[__gcd(n,i)]; printf("%lld ",s1/n); if(n&1) s2=n*pw[n+1>>1]; else s2=n/2*(pw[n/2+1]+pw[n/2]); printf("%lld\n",(s1+s2)/2/n); } }
标签:Dhaka,个长,Love,gcd,对称轴,10294,long,循环,pw 来源: https://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/15080694.html
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