清风数模课---拟合算法

2022-01-31 14:05:01 阅读：199 来源： 互联网

使用目标:

与插值问题不同，在拟合问题中不需要曲线一定经过给定的点。拟合问题的目标是寻求一个函数（曲线），使得该曲线在某种准则下与所有的数据点最为接近，即曲线拟合的最好（最小化损失函数）。
最基础的一次函数拟合
```
 plot(x,y,'o')
 % 给x和y轴加上标签
 xlabel('x的值')
 ylabel('y的值')
```
<注:代码文件:code1.m >数据文件:data1.xlsx
- 将数据导入到matlab时，我们是分别创建了两个变量：x和y，每个变量仅保存一列数据。(指建立了两列,一列x,一列y)

最小二乘法

问题:
设这些样本点为 $(x_i,y_i),i = 1,2,...,n$
我们设置的拟合曲线为 $y=kx+b$
问:k和b取何值的时候,样本点和拟合曲线最接近
定义:
$y_i=kx_i+b \\ \overline{k},\overline{b}=arg_{k,b}min(\displaystyle \sum^{n}_{i = 1}{(y_i-\overline{y_i})^2})$
求解(计算过程太复杂了...略)

代码

文件: code1.m

 clear;clc
 load data1
 plot(x,y,'o')
 % 给x和y轴加上标签
 xlabel('x的值')
 ylabel('y的值')
 n = size(x,1);
 k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))
 /(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
 b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*
 sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)
 *sum(x))
 hold on % 继续在之前的图形上来画图形
 grid on % 显示网格线
 f=@(x) k*x+b;
 fplot(f,[2.5,7]);
 legend('样本数据','拟合函数','location','SouthEast')

判断拟合好坏

拟合优度(可决系数): $R^2$
总体平方和SST: $SST=\displaystyle \sum^{n}_{i = 1}{(y_i-\hat{y_i})^2}$
回归平方和SSR: $SSR=\displaystyle \sum^{n}_{i = 1}{(\hat{y_i}-\overline{y})^2}$
SST=SSE+SSR
$0\leq R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{SST-SSE}{SST} = 1-\frac {SSE}{SST}\leq1$
R^2越接近1,说明误差平方和越接近0,误差越小说明拟合的越好

线性函数在此指的是对参数为线性,意思是参数都是一次的

在函数中，参数仅以一次方出现，且不能乘以或除以其他任何的参数，并不能出现参数的复合函数形式。

拟合优度的代码

 y_hat = k*x+b; % y的拟合值
 SSR = sum((y_hat-mean(y)).^2) % 回归平方和
 SSE = sum((y_hat-y).^2) % 误差平方和
 SST = sum((y-mean(y)).^2) % 总体平方和
 SST-SSE-SSR
 R_2 = SSR / SST

文件:code1.m (mean()是求均值的函数)

matlab拟合工具箱

命令窗口输入cftool
注:cftool可以做出三维图,十分高级

自己模拟数据进行演示

randi : 产生均匀分布的随机整数

 %产生一个1至10之间的随机矩阵，大小为2x5；
 s1 = randi(10,2,5);
 %产生一个-5至5之间的随机矩阵，大小为1x10；
 s2 = randi([-5,5],1,10);

rand: 产生均匀分布的随机数

 %产生一个0至1之间的随机矩阵，大小为1x5；
 s3 = rand(1,5);
 %产生一个a至b之间的随机矩阵，大小为1x5；
 % a + (b-a) * rand(1,5); 如：a,b = 2,5
 s4= 2 + (5-2) * rand(1,5);

normrnd:产生正态分布的随机数

 %产生一个均值为0，标准差为2的正态分布的随机矩阵，大小为3x4；
 s5 = normrnd(0,2,3,4);

roundn—任意位位置四舍五入

 a = 3.1415
 roundn(a,-2) % ans = 3.1400
 roundn(a,2) % ans = 0
 a =31415
 roundn(a,2) % ans = 31400

代码文件:code2

附注:代码文件code3.m用于自己模拟数据进行演示

标签：函数,SST,sum,平方和,---,数模,随机,拟合
来源： https://blog.csdn.net/m0_62519898/article/details/122759108

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拟合优度(可决系数):	$R^2$
总体平方和SST:	$SST=\displaystyle \sum^{n}_{i = 1}{(y_i-\hat{y_i})^2}$
回归平方和SSR:	$SSR=\displaystyle \sum^{n}_{i = 1}{(\hat{y_i}-\overline{y})^2}$
SST=SSE+SSR
$0\leq R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{SST-SSE}{SST} = 1-\frac {SSE}{SST}\leq1$
R^2越接近1,说明误差平方和越接近0,误差越小说明拟合的越好

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